Prodotto scalare

[pietro1231]

Data l'applicazione $< , >:R^4 x R^4 -> R$ definita da:
$ =2v_1w_1-v_1w_2-v_2w_1-v_1w_3-v_3w_1+v_2w_2+v_3w_3+6v_4w_4$
1)Dimostra che $< , >:R^4 x R^4 -> R$ è un prodotto scalare su $R^4$.
2) Scrivi la matrice associata a tale prodotto scalare rispetto a una base a tua scelta
3) stabilisci se è degenere
4) determina se è semi-definito positivo, negativo o indefinito.

Non so proprio da dove partire

[cooper1]

ciao, allora vediamo di andare con ordine
1. un prodotto scalare è per definizione un'applicazione BI-lineare simmetrica (definita positiva). la condizione tra parentesi dipende dal prof quindi attieniti alla tua definizione. a tal proposito devi verificare che:

[*:31ikvrm4] $ psi(v_1+v_2, w)=psi(v_1,w)+psi(v_2,w) $ [/*:m:31ikvrm4]
[*:31ikvrm4] $ psi(v, w_1+w_2)=psi(v,w_1)+psi(v,w_2) $ [/*:m:31ikvrm4]
[*:31ikvrm4] $ psi(av, w)=apsi(v,w)=psi(v,aw) $ [/*:m:31ikvrm4][/list:u:31ikvrm4]
per la simmetria puoi scrivere la matrice associata alla forma bilineare e vedere se è simmetrica, se lo è allora anche la forma bilineare che rappresenta lo è. infine devi verificare l'eventuale "definito positivo".
2. per scrivere la matrice rappresentativa devi sapere che $ psi(v_i,v_j)=M_(ij) $ dove $ {v_i} $ sono una base di $V$ ed M è la matrice rappresentativa. a titolo di esempio ti faccio $M_(11)$ considerando per semplicità la base canonica
$ (v_1,v_2,v_3,v_4)=e_1 rArr v_1=1 ^^ v_(2,3,4)=0 $
$ (w_1,w_2,w_3,w_4)=e_1 rArr w_1=1 ^^ w_(2,3,4)=0 $
sfruttando ora la definizione del tuo prodotto scalare abbiamo che: $ M_(1,1)=2 $
procedi così anche per gli altri.
se consideri la base canonica la matrice è già data infatti dalla definizione del prodotto scalare hai che i coefficienti della forma sono i numeri che compongono la matrice e gli indici di $v,w$ sono le coordinate della matrice.
3. se $ker(psi)={0} $ la forma bilineare è non degenere se invece $dim(ker(psi)) > 0 $ è degenere. ti basa quindi studiare il nucleo
4. puoi per esempio studiare il segno degli autovalori di $psi$ tenendo presente che una matrice simmetrica $A$ è


[*:31ikvrm4] definita positiva se e solo se tutti gli autovalori sono $ > 0$[/*:m:31ikvrm4]
[*:31ikvrm4] definita negativa se e solo se tutti gli autovalori sono $ < 0$[/*:m:31ikvrm4]
[*:31ikvrm4] semidefinita positiva se e solo se tutti gli autovalori sono $ >= 0$[/*:m:31ikvrm4]
[*:31ikvrm4] semidefinita negativa se e solo se tutti gli autovalori sono $ <= 0$[/*:m:31ikvrm4]
[*:31ikvrm4] indefinita se e solo se esistono almeno due autovalori di segno discorde[/*:m:31ikvrm4][/list:u:31ikvrm4]

[pietro1231]

Grazie mille

[cooper1]

prego