Sistema lineare con parametro

[empirepos]

Buongiorno ragazzi/e Avrei dei dubbi per quanto riguarda la risoluzione dei sistemi lineari con un parametro. Ho già cercato qui sul forum altre discussioni simili ma quelle che ho trovato mi sembrano "diverse" da ciò che l'esercizio mi chiede di fare
Si consideri il sistema lineare AX = B, con
A= $((0,1,1,1,1),(6,h,h+6,6),(h+6,-3,h+3,h+3))$



e B = $((1+h),(h),(-3-2h))$
(a) Determinare il rango di A al variare di h:
(b) Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni:
(c) Determinare per quali valori di h la varietà lineare delle soluzioni del sistema
ha dimensione 2:
(d) Posto h = 3, determinare una rappresentazione parametrica per la varietà lineare delle soluzioni:

Il punto (a) lo risolvo facilmente: calcolo il determinante e trovo dei valori di h. Sostituisco i valori trovati alla matrice e trovo il valore del rango per tutti i valori del parametro. Per il punto (b) è necessario che rgA = rgAc (Ac -> matrice completa); ho notato che nelle altre discussioni qui sul forum si procedeva in questo modo: i valori che ho trovato di h del punto (a) li sostituisco anche alla matrice completa e controllo se il loro rango coincide. Io ho provato ma mi viene impossibile per entrambi i valori di h. Ho provato quindi un altro metodo che ci hanno spiegato a lezione; ho calcolato il determinante della matrice completa prendendo una sottomatrice con terza colonna B. Ho trovato dei nuovi valori di h e li ho sostituiti alla matrice completa. Trovo così il valore del rango a seconda del parametro h. Metto a confronto i risultati e dovrei trovare la soluzione che va bene per entrambe le matrici. Anche in questo caso però non riesco a trovare una soluzione univoca. I punti (c) e (d) invece non so neppure come iniziare
Grazie mille per l'aiuto

[feddy]

"empirepos":
Il punto (a) lo risolvo facilmente: calcolo il determinante e trovo dei valori di h.

non puoi calcolare il determinante di una matrice rettangolare.

[empirepos]

"feddy":

non puoi calcolare il determinante di una matrice rettangolare.

Come no? Sapendo che il rango massimo della matrice 4x3 è 3 ho preso una sottomatrice 3x3 e ci ho calcolato il determinante trovando così due valori per i parametri h. Anche sul libro è spiegato così

[feddy]

Di per sé il determinante è definito solo per matrici quadrate. E non l'hai specificato quando l'hai scritto
Per b) puoi procedere con l'eliminazione di Gauss e discutere per quali valori i ranghi sono uguali.

c) Pensa a Rouché-Capelli. Ti dice che se $rk(A|b)=rk(A)
d) Sono conti

[empirepos]

"feddy":Ok, ma di per sè il determinante è definito solo per matrici quadrate. E non l'hai specificato quando l'hai scritto

Scusami, lo davo per sottinteso

"feddy":Per b) puoi procedere con l'eliminazione di Gauss e discutere per quali valori i ranghi sono uguali.

Ma applico la riduzione a scala sulla matrice con il parametro o con le matrici con i valori del parametro h trovati?

"feddy":c) Pensa a Rouché-Capelli. Ti dice che se $rk(A|b)=rk(A)
d) Sono conti

Ok queste due richieste le ho provate su altri esercizi e le ho capite, grazie mille

[feddy]

No no, lavori proprio sulla matrice col parametro ! E trovi per quali valori di $h$ il sistema è compatibile, cioè per quali valori di $h$ il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta.