Base Nucleo e Immagine (omomorfismo R3->R4)
Buonasera a Tutti,
stavo svolgendo alcuni esercizi relativamente ad un imminente esame ma mi sono fermato ad un certo punto.
Il problema nasce dal fatto che, in primis l'argomento non è che mi sia chiarissimo, e poi che sono abituato a lavorare con omomorfismi del tipo $f : R^3 -> R^3 $ mentre questa volta mi trovo con $f : R^3 -> R^4 $.
Nello specifico l'omorfismo in questione è $f ((a) ,(b) ,(c)) = ((a+2c),(b-c),(a+b+c),(2a+4c))$
Tramite messa a sistema mi sono ricavato una base per il nucleo e la sua dimensione con il seguente procedimento:
$\{(a + 2c = 0),(b-c=0),(a+b+c=0),(2a+4c=0):} {(a + 2c = 0),(b=c),(a=-2c),(a+2c=0):} {(a = -2c),(b=c):} $
Da quanto sopra ottengo quindi: $ [[-2c],[c],[c]] = c [[-2],[1],[1]] $
Quindi $(-2,1,1)$ è una base del nucleo e la sua dimensione (è corretto dire dimensione della base del nucleo???) è $1$
A questo punto solitamente tramite il Teorema di Nullità più Rango mi ricavo la dimensione e conseguentemente la base dell'immagine.
Se avessi avuto il caso $f : R^3 -> R^3 $ avrei fatto $ 3 - 1 = 2 $ e mi sarei trovato 2 vettori della base dell'immagine (solitamente trasformo i vettori della base canonica).
Ma in questo caso $f : R^3 -> R^4 $ devo fare $ 4 - 1 = 3 $ oppure $ 3 - 1 = 2 $ ?
Da questa domanda è evidente che i concetti non mi sono molto chiari
Grazie in anticipo a chiunque mi risponderà
stavo svolgendo alcuni esercizi relativamente ad un imminente esame ma mi sono fermato ad un certo punto.
Il problema nasce dal fatto che, in primis l'argomento non è che mi sia chiarissimo, e poi che sono abituato a lavorare con omomorfismi del tipo $f : R^3 -> R^3 $ mentre questa volta mi trovo con $f : R^3 -> R^4 $.
Nello specifico l'omorfismo in questione è $f ((a) ,(b) ,(c)) = ((a+2c),(b-c),(a+b+c),(2a+4c))$
Tramite messa a sistema mi sono ricavato una base per il nucleo e la sua dimensione con il seguente procedimento:
$\{(a + 2c = 0),(b-c=0),(a+b+c=0),(2a+4c=0):} {(a + 2c = 0),(b=c),(a=-2c),(a+2c=0):} {(a = -2c),(b=c):} $
Da quanto sopra ottengo quindi: $ [[-2c],[c],[c]] = c [[-2],[1],[1]] $
Quindi $(-2,1,1)$ è una base del nucleo e la sua dimensione (è corretto dire dimensione della base del nucleo???) è $1$
A questo punto solitamente tramite il Teorema di Nullità più Rango mi ricavo la dimensione e conseguentemente la base dell'immagine.
Se avessi avuto il caso $f : R^3 -> R^3 $ avrei fatto $ 3 - 1 = 2 $ e mi sarei trovato 2 vettori della base dell'immagine (solitamente trasformo i vettori della base canonica).
Ma in questo caso $f : R^3 -> R^4 $ devo fare $ 4 - 1 = 3 $ oppure $ 3 - 1 = 2 $ ?
Da questa domanda è evidente che i concetti non mi sono molto chiari
Grazie in anticipo a chiunque mi risponderà
Risposte
ciao,
Il procedimento per il nucleo è corretto.
Quando si parla di dimensione si parla sempre di base, perciò è corretto dire che la base del nucleo ha dimensione $1$.
Come avrai visto infatti, ci sono almeno due teoremi famosissimi in algebra lineare sulle dimensioni (formula di Grassmann e Nullità più rango).
In particolare, nullità più rango ti dice che data un'applicazione lineare $f:V->W$ tra spazi vettoriali finitamente generati si ha $dim(V)=dim(ker(f)) + dim(Im(f))$. Quello che conta come vedi è lo spazio di partenza. Pertanto l'immagine avrà dimensione $2$.
Il procedimento per il nucleo è corretto.
Quando si parla di dimensione si parla sempre di base, perciò è corretto dire che la base del nucleo ha dimensione $1$.
Come avrai visto infatti, ci sono almeno due teoremi famosissimi in algebra lineare sulle dimensioni (formula di Grassmann e Nullità più rango).
In particolare, nullità più rango ti dice che data un'applicazione lineare $f:V->W$ tra spazi vettoriali finitamente generati si ha $dim(V)=dim(ker(f)) + dim(Im(f))$. Quello che conta come vedi è lo spazio di partenza. Pertanto l'immagine avrà dimensione $2$.
Inoltre, tanto per la cronaca:
1. Puoi verificare i tuoi risultati moltiplicando la matrice rappresentativa per il vettore del nucleo trovato. Infatti, detta $T$ la matrice associata rispetto a una base e $vecv$ il vettore del nucleo, si ha $T*vecv=vec0$.
2.Solitamente, le applicazioni lineari (o omomorfismi fra spazi vettoriali) fra spazi di stessa dimensioni si chiamano endomorfismi (ma questa è solo nomenclatura).
1. Puoi verificare i tuoi risultati moltiplicando la matrice rappresentativa per il vettore del nucleo trovato. Infatti, detta $T$ la matrice associata rispetto a una base e $vecv$ il vettore del nucleo, si ha $T*vecv=vec0$.
2.Solitamente, le applicazioni lineari (o omomorfismi fra spazi vettoriali) fra spazi di stessa dimensioni si chiamano endomorfismi (ma questa è solo nomenclatura).
"feddy":
In particolare, nullità più rango ti dice che data un'applicazione lineare $f:V->W$ tra spazi vettoriali finitamente generati si ha $dim(V)=dim(ker(f)) + dim(Im(f))$. Quello che conta come vedi è lo spazio di partenza. Pertanto l'immagine avrà dimensione $2$.
Perfetto. Grazie. Effettivamente a seguito delle tue indicazione mi sono andato a rivedere la Teoria ed è esattamente come mi hai detto. Colpa mia che negli appunti mi ero riportato solo la relazione del Teorema senza le ipotesi di partenza
Sapere che il tutto dipende dallo spazio di partenza mi aiuta molto perchè in sostanza sia che siamo di fronte ad un omomorfismo R3->R4 che ad un endomorfismo R3->R3 sempre $V$ devo considerare nel Teorema di Nullità più rango (se non ho mal interpretato le tue parole) .
Proseguo con l'eserczio e lo posto così vedo di capire se lo concludo correttamente
"feddy":
1. Puoi verificare i tuoi risultati moltiplicando la matrice rappresentativa per il vettore del nucleo trovato. Infatti, detta T la matrice associata rispetto a una base e v il vettore del nucleo, si ha T⋅v=0.
Questa non l'ho capita...vedrò di capirci qualcosa in più alla fine...non sia mai che in sede d'esame mi avanzi tempo ed abbia anche un modo (che assolutamente non conoscevo) di verificare anche la correttezza dei calcoli
Proseguo con l'esercizio...e lo posto...intanto grazie mille
Beh, mi sorprende che tu non lo conosca... basta sapere che cos'è il nucleo e che fare $f(v)$ è equivalente al prodotto matrice-vettore $T*v$, con $T$ matrice rappresentativa.
Il nulcleo (o ker) è definito così: $ker(f)={vec v in V| f(v)=vec0}$. Chiaro ora?
Il nulcleo (o ker) è definito così: $ker(f)={vec v in V| f(v)=vec0}$. Chiaro ora?
"feddy":
Beh, mi sorprende che tu non lo conosca... basta sapere che cos'è il nucleo e che fare $f(v)$ è equivalente al prodotto matrice-vettore $T*v$, con $T$ matrice rappresentativa.
Il nulcleo (o ker) è definito così: $ker(f)={vec v in V| f(v)=vec0}$. Chiaro ora?
Mica tanto
Ma tranquillo è proprio che sono argomenti che fatico a comprendere...e quando il tempo a disposizione è poco per fare molte cose la confusione regna sovrana
Comunque ho concluso l'esercizio come mi hai suggerito, ovvero:
$dim (V) = dim(ker(f)) + dim(Im(f))$ da cui $dim(Im(f)) = dim (V) - dim(ker(f)) = 3 - 1 = 2$
A questo punto sapendo che la dimensione della base dell'immagine è $2$ mi ricavo due vettori di tale base, applicando l'omomorfismo a due vettori della base canonica di R3, ovvero:
$f[[1],[0],[0]] = [[1],[0],[1], [2]] $
$f[[0],[1],[0]] = [[0],[1],[1], [0]] $
In teoria (dando per scontato la correttezza dei calcoli) l'esercizio dovrebbe essere terminato (secodo le specifiche richieste)!!!
A parte i calcoli l'importante è che il procedimento sia corretto!!!!
Il nucleo altro non è che l'insieme dei vettori che vegono mandati in $vec0$, cioè nel vettore nullo. Una volta che l'hai trovato, per fare la verifica non devi fare altro che fare $f(v)$.
La dimensione della base dell'immagine è data dal rango della matrice associata. La matrice associata rispetto alla base canonica la puoi trovare facendo $f(e_i)$, con $i=1,2,3$.
Metti in colonna questi vettori, e, sapendo che la dimensione è $2$ (l'hai ricavato prima), è sufficiente estrarre due vettori linearmente indipendenti
Non ho fatto i conti. L'importante è che tu abbia estratto due vettori linearmente indipendenti, e quei due lo sono.
La dimensione della base dell'immagine è data dal rango della matrice associata. La matrice associata rispetto alla base canonica la puoi trovare facendo $f(e_i)$, con $i=1,2,3$.
Metti in colonna questi vettori, e, sapendo che la dimensione è $2$ (l'hai ricavato prima), è sufficiente estrarre due vettori linearmente indipendenti
Non ho fatto i conti. L'importante è che tu abbia estratto due vettori linearmente indipendenti, e quei due lo sono.
"feddy":
Il nucleo altro non è che l'insieme dei vettori che vegono mandati in $vec0$, cioè nel vettore nullo. Una volta che l'hai trovato, per fare la verifica non devi fare altro che fare $f(v)$.
In pratica quindi per verificare la correttezza della base del nucleo mi basta applicare l'omomorfismo al vettore trovato e se ottengo il vettore nullo (0,0,0,0) il risultato è coretto.
Ho verificato nel mio esercizio ed ottengo infatti il vettore nullo!!
Grazie. Informazione utilissima....mitico...
"feddy":
La dimensione della base dell'immagine è data dal rango della matrice associata. La matrice associata rispetto alla base canonica la puoi trovare facendo $f(e_i)$, con $i=1,2,3$.
Metti in colonna questi vettori, e, sapendo che la dimensione è $2$ (l'hai ricavato prima), è sufficiente estrarre due vettori linearmente indipendenti
Non ho fatto i conti. L'importante è che tu abbia estratto due vettori linearmente indipendenti, e quei due lo sono.
Per questa seconda parte ci devo ancora ragionare un attimo...sopratturro perchè non ho capito cosa sia $f(e_i)$, con $i=1,2,3$
Comunque grazie davvero ho appreso più in questa ultima ora che nell'ultima settimana....
$e_i=[0,...,1,...,0]^T$, dove $1$ sta nell'i-esima componente. Sono i vettori della base canonica ! In pratica tutti zeri tranne nella posizione $i$ dove c'è $1$.
Nel tuo caso hai trovato prima $f(e_1)$ e $f(e_2)$.
Di nulla
Nel tuo caso hai trovato prima $f(e_1)$ e $f(e_2)$.
Di nulla
"feddy":
Nel tuo caso hai trovato prima $f(e_1)$ e $f(e_2)$.
A titolo informativo (o meglio di sicurezza in sede d'esame) a parte verificare che i due vettori siano linearmente indipendenti, esiste qualche metodo relativamente veloce (al pari di quanto è per esempio possibile fare con il vettore del nucleo) per verificare la correttezza del risultato della base che mi ricavo???
Non è importante...ma giusto per sapere se ho qualche strumento in più da giocarmi
Beh, qui forse hai meno "carte" da giocarti. Se la tua applicazione fosse suriettiva, allora preso un qualsiasi vettore che appartiene al codominio, potresti trovare una combinazione lineare dei vettori della base dell'immagine tale da generarlo.
Direi che per questo genere di esercitazioni posso "accontentarmi" degli strumenti che ho a disposizione (anche perchè grazie al tuo aiuto in pochissimo tempo mi sono tolto ore ed ore di ricerca in solitaria ed ho acquisito una certa sicurezza in più).
Inoltre ho altri due argomenti ancora più ostici che mi mettono non poco in difficoltà:
- il primo sono i sottospazi (in particolare interesezione e somma)
- il secondo quello dove non riesco proprio a fare bene mente locale riguarda la geometria lineare (vettori, rette e piani.....); su quelle esercitazioni faccio davvero fatica a non fare macelli
Considerando che ho disponibili ancora solo 4/6 giorni devo per forza di cosa ottimizzare i tempi.
Quindi spero tra domani massimo lunedì di fare chiarezza sulle esercitazione relativa ai sottospazi.
E poi quello che resta sulla geometria lineare
Grazie ancora per l'aiuto
Inoltre ho altri due argomenti ancora più ostici che mi mettono non poco in difficoltà:
- il primo sono i sottospazi (in particolare interesezione e somma)
- il secondo quello dove non riesco proprio a fare bene mente locale riguarda la geometria lineare (vettori, rette e piani.....); su quelle esercitazioni faccio davvero fatica a non fare macelli
Considerando che ho disponibili ancora solo 4/6 giorni devo per forza di cosa ottimizzare i tempi.
Quindi spero tra domani massimo lunedì di fare chiarezza sulle esercitazione relativa ai sottospazi.
E poi quello che resta sulla geometria lineare
Grazie ancora per l'aiuto
Nel frattempo ho cantato vittoria troppo presto.....sono incappato in una situazione strana...magari è la stanchezza vista l'ora...ma non riesco ad estrarre un vettore del nucleo...che dovrebbe essere la cosa più semplice (senza la tua possibilità di verifica non me ne sarei mai accorto)
L'endomorfismo è il seguente:
$f[[a],,[c]]=[[2a+b-3c],[a-b+2c],[a-2c]]$
Faccio il solito sistema:
$\{(2a+b-3c=0),(a-b+2c=0),(a-2c=0):}$ $\{(2a+b-3c=0),(a-b+2c=0),(a=2c):}$ $\{(4c+b-3c=0),(2c-b+2c=0),(a=2c):}$ $\{(c+b=0),(4c-b=0),(a=2c):}$
A questo punto come mi muovo, mi muovo, non trovo una soluzione che mi restituisca un vettore (mi sorge il dubbio che non sia solo uno come ho sempre visto negli esempi e come in teoria può ovviamente non essere) del nucleo
L'endomorfismo è il seguente:
$f[[a],,[c]]=[[2a+b-3c],[a-b+2c],[a-2c]]$
Faccio il solito sistema:
$\{(2a+b-3c=0),(a-b+2c=0),(a-2c=0):}$ $\{(2a+b-3c=0),(a-b+2c=0),(a=2c):}$ $\{(4c+b-3c=0),(2c-b+2c=0),(a=2c):}$ $\{(c+b=0),(4c-b=0),(a=2c):}$
A questo punto come mi muovo, mi muovo, non trovo una soluzione che mi restituisca un vettore (mi sorge il dubbio che non sia solo uno come ho sempre visto negli esempi e come in teoria può ovviamente non essere) del nucleo
sei d'accordo che una base del nucleo è data da $((2),(4),(1)),((0),(0),(-1))$?
mi fa piacere esserti stato d'aiuto.
mi fa piacere esserti stato d'aiuto.
"feddy":
sei d'accordo che una base del nucleo è data da $((2),(4),(1)),((0),(0),(-1))$?
Diciamo che se me lo dici mi fido.....
Ma non riesco ad arrivare alla soluzione...ovvero ok per $((2),(4),(1))$ ma non capisco come estrapolo $((0),(0),(-1))$
Ovvero dal mio sistema:
$ \{(c+b=0),(4c-b=0),(a=2c):} {(??? ),(b=4c),(a=2c):} -> c ((2),(4),(1))$
Però porto avanti la prima equazione del sistema mi esce $ b = -c $ e quindi mi perdo.....oppure se la porto al contrario mi esce $ c = - b $...ops forse a questo punto ho capito.....ovvero dal sistema avrei:
$ \{(c+b=0),(4c-b=0),(a=2c):} {(c = -b ),(b=4c),(a=2c):} -> c ((2),(4),(1)) + b ((0),(0),(-1)) $
Quindi per la prima volta ottengo una base del nucleo di dimensione $2$
P.S. Sinceramente però questo passaggio l'ho un pò forzato:
$ {(c = -b ),(b=4c),(a=2c):} -> c ((2),(4),(1)) + b ((0),(0),(-1)) $
"feddy":
L'importante è che tu abbia estratto due vettori linearmente indipendenti, e quei due lo sono.
Domanda forse banale, ma a colpo d'occhio posso dire che sono linearmente indipendenti perchè non sono uno multiplo dell'altro giusto? Ricordo che anche su tale aspetto noi "novellini della materia" facciamo una bella confusione
Infatti non mi torna il fatto che ho letto che ad esempio in $R^2$ $((0),(1))$ e $((1),(0))$ sono linearmente dipendenti (eppure non sono uno multiplo dell'altro).
Quindi il mio ragionamento è sicuramente errato
"Alex_SSRI":
Ma non riesco ad arrivare alla soluzione...ovvero ok per $((2),(4),(1))$ ma non capisco come estrapolo $((0),(0),(-1))$
Ovvero dal mio sistema:
$ \{(c+b=0),(4c-b=0),(a=2c):} {(??? ),(b=4c),(a=2c):} -> c ((2),(4),(1))$
Quel sistema ammette $infty^2 $ soluzioni. Quindi come vedi trovi due parametri liberi
"Alex_SSRI":
Domanda forse banale, ma a colpo d'occhio posso dire che sono linearmente indipendenti perché non sono uno multiplo dell'altro giusto? [/quote]
Certo. Due vettori $v,w$ si dicono linearmente dipendenti se esiste un $alpha in K$ tale che $v=alpha*w$.
"Alex_SSRI":
non mi torna il fatto che ho letto che ad esempio in R2 (01) e (10) sono linearmente dipendenti (eppure non sono uno multiplo dell'altro).
Quindi il mio ragionamento è sicuramente errato
Ma sono due vettori della base canonica ! Com'è possibile che siano linearmente dipendenti?
Al di là delle considerazioni "a occhio", per verificare l'indipendenza lineare è necessario fare un semplice sistemino:
se fossero lin. indipendenti, allora l'unico modo per ottenere il vettore nullo a partire da una combinazione lineare è che tutti gli scalari siano nulli.
Proviamolo.
$a((1),(0)) + b((0),(1))=((0),(0))$
Da cui $a=0, b=0$. Sono entrambi nulli. Quindi sono linearmente indipendenti.
"feddy":
Quel sistema ammette $infty^2 $ soluzioni. Quindi come vedi trovi due parametri liberi
Detto molto sinceramente, dei vari esami solo in questa occasione mi è capitata una cosa simile, quindi speriamo che becchi un nucleo semplice e non rischi di fare confusione (comunque se avanza tempo, cercherò di capire meglio anche questa situazione
)"feddy":
Domanda forse banale, ma a colpo d'occhio posso dire che sono linearmente indipendenti perché non sono uno multiplo dell'altro giusto?
Certo. Due vettori $v,w$ si dicono linearmente dipendenti se esiste un $alpha in K$ tale che $v=alpha*w$.
Il colpo d'occhio mi è utile perchè tramite la posizione degli zeri in un attimo riesco subito a capire la lineare dipendenza o meno.
"feddy":
Ma sono due vettori della base canonica ! Com'è possibile che siano linearmente dipendenti?
L'ora tarda fa brutti effetti...però mi sembra proprio di aver letto così
Certo però che se fossi stato un pò più lucido effettivamente essendo una base, per essere tale i vettori devono per forza essere indipendenti.
Anzichè alimentare la mia insicurezza dovevo semplicemente pensare che o avevo letto male o chi l'ha scritto ha commesso un errore
"feddy":
Al di là delle considerazioni "a occhio", per verificare l'indipendenza lineare è necessario fare un semplice sistemino:
se fossero lin. indipendenti, allora l'unico modo per ottenere il vettore nullo a partire da una combinazione lineare è che tutti gli scalari siano nulli.
Proviamolo.
$a((1),(0)) + b((0),(1))=((0),(0))$
Da cui $a=0, b=0$. Sono entrambi nulli. Quindi sono linearmente indipendenti.
Questa ultima cosa me la metto in un post it tra gli appunti così fra qualche giorno quando avrò qualche dubbio me la rileggo fino a ricordarmelo.
Sperando di non aver detto "eresie" dovrei aver capito il discorso della lineare indipendenza. In giornata posto qualche vettore con al fianco la mia deduzione cosi' vediamo se a conti fatti riesco a riconoscerli al volo o al massimo tramite un veloce sistema (giusto per sicurezza
)P.S. Il vero grosso problema è che di tutta la storia Basi, Sistemi Generatori, Nucleo, etc non sono stato in grado di comprenderli a fondo, quindi fin quando resto in zona di confort me la cavo, ma come hai visto appena esco fuori dallo standard la situazione si complica, andando a fare deduzioni/errori banali, ma fondamentalmente anche piuttostro gravi (definire la base canonica composta da vettori dipendenti, è un banale errore, ma dal lato professore capirei che "non ha capito nulla del discorso basi").
Un metodo meccanico per estrarre più vettori della base del nucleo (qualora appunto ce ne siano più di $1$) potrebbe essere questo.
Preambolo: come sai, per Rouchè-Capelli, se $rk(A)=rk(A|b)$, allora, se $rk(A)
Supponiamo che tu stia lavorando con $a,b,c$ le tue incognite ( come prima).
Il "trucco" è esplicitare ogni variabile in "ordine" (per esempio $a,b,c$ , $x,y,z$) in modo di vedere come dipendono le une dalle altre.
Esempio: $ \{(c+b=0),(4c-b=0),(a=2c):} $
Ordiniamo dalla $a$ alla $c$: $ \{(a=2c), (b=-c),(c=b/4):} $. Il risultato è $((0),(0),(0))$ [edit]
Non penso ti convenga ragionare in questo modo. Sbattici la testa una volta (visto che non è una cosa particolarmente difficile) e sarai apposto.
Preambolo: come sai, per Rouchè-Capelli, se $rk(A)=rk(A|b)$, allora, se $rk(A)
Supponiamo che tu stia lavorando con $a,b,c$ le tue incognite ( come prima).
Il "trucco" è esplicitare ogni variabile in "ordine" (per esempio $a,b,c$ , $x,y,z$) in modo di vedere come dipendono le une dalle altre.
Esempio: $ \{(c+b=0),(4c-b=0),(a=2c):} $
Ordiniamo dalla $a$ alla $c$: $ \{(a=2c), (b=-c),(c=b/4):} $. Il risultato è $((0),(0),(0))$ [edit]
"Alex_SSRI":
Detto molto sinceramente, dei vari esami solo in questa occasione mi è capitata una cosa simile, quindi speriamo che becchi un nucleo semplice e non rischi di fare confusione (comunque se avanza tempo, cercherò di capire meglio anche questa situazione )
Non penso ti convenga ragionare in questo modo. Sbattici la testa una volta (visto che non è una cosa particolarmente difficile) e sarai apposto.
"feddy":
Non penso ti convenga ragionare in questo modo. Sbattici la testa una volta (visto che non è una cosa particolarmente difficile) e sarai apposto.
Hai sicuramente ragione. Diciamo che appena trovo un pò di tempo libero cerco di capire anche questo.
Questa mattina sono in guerra con Gauss-Jordan e le Matrici nei gruppi Zp
In R in genere non ho problemi, in Zp ogni volta mi sfugge qualcosa...nei calcoli...ma il procedimento comunque è corretto ed ho comunque modo di verificare i risultati con il sistema iniziale...però mi scoccia che non mi tornino mai i conti
E...non voglio pensare che ancora mi mancano gli esercizi sui sottospazi (per lo più intersezione e somma) e peggio ancora la geometria lineare
Confrontandomi con alcuni colleghi di corso che avevano già svolto questo esercizio (tra l'altro corretto positivamente dal professore) mi hanno dato un'altra interpretazione rispetto a quanto da noi dedotto come base del nucleo.
Ed in effetti la cosa potrebbe avere un senso
Riepilogando l'endomorfismo è il seguente:
$f[[a],,[c]]=[[2a+b-3c],[a-b+2c],[a-2c]]$
Faccio il solito sistema:
$\{(2a+b-3c=0),(a-b+2c=0),(a-2c=0):}$ $\{(2a+b-3c=0),(a-b+2c=0),(a=2c):}$ $\{(4c+b-3c=0),(2c-b+2c=0),(a=2c):}$ $\{(c+b=0),(4c-b=0),(a=2c):}$ $\{(c + b = 0),(b = 4c), (a=2c) :}$ $\{(5c = 0),(b = 4c), (a=2c) :} {(c = 0),(b = 4c = 0), (a=2c=0) :}$
Da questo otteniamo quindi come base del nucleo il vettore nullo (quindi dimensione 0).
E' possibile?
Perchè se così fosse, poi la base di $Im(f)$ avrebbe dimensione $3$ (come R3) per cui come base si potrebbe prendere direttamente la base canonica $ ((1),(0),(0)), ((0),(1),(0)),((0),(0),(1))$
Ed in effetti la cosa potrebbe avere un senso
Riepilogando l'endomorfismo è il seguente:
$f[[a],,[c]]=[[2a+b-3c],[a-b+2c],[a-2c]]$
Faccio il solito sistema:
$\{(2a+b-3c=0),(a-b+2c=0),(a-2c=0):}$ $\{(2a+b-3c=0),(a-b+2c=0),(a=2c):}$ $\{(4c+b-3c=0),(2c-b+2c=0),(a=2c):}$ $\{(c+b=0),(4c-b=0),(a=2c):}$ $\{(c + b = 0),(b = 4c), (a=2c) :}$ $\{(5c = 0),(b = 4c), (a=2c) :} {(c = 0),(b = 4c = 0), (a=2c=0) :}$
Da questo otteniamo quindi come base del nucleo il vettore nullo (quindi dimensione 0).
E' possibile?
Perchè se così fosse, poi la base di $Im(f)$ avrebbe dimensione $3$ (come R3) per cui come base si potrebbe prendere direttamente la base canonica $ ((1),(0),(0)), ((0),(1),(0)),((0),(0),(1))$
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