Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia $C$ una circonferenza che giace su un piano di $RR^3$. Sia $X = RR^3\\C$.
(1) Ricordando che $S^3$ è la compattificazione di Alexandroff di $RR^3$, si provi che $X$ è omeomorfo al complementare in $RR^3$ di una retta $r$ e di un punto $p$ fuori da essa.
(2) Usando il teorema di van Kampen, si determini il gruppo fondamentale di $X$.
Per (1) non ho ben capito come usare il ...
Ciao a tutti,
Studiando topologia mi è sorto un dubbio:
$X$ Spazio topologico si dice totalmente sconnesso se ${x}$ è una componente connessa $AAx$.
Il libro dice che uno spazio totalmente sconnesso è T1, e fin qui tutto ok (se ${x}$ è una componente connessa allora è chiuso perchè le componenti connesse sono sempre chiuse), ma poi aggiunge che non per forza è anche T2 (spazio di Hausdorff).
Allora mi chiedo, vale il viceversa? cioè: gli ...
Ciao ragazzi ho un problema in questo esercizio.
Io so che 2 rette parallele hanno lo stesso vettore direttore => trovo il vettore direttore della retta s ponendo x=t e ottengo s(t) = t $ ( ( 1 ),( 1 ),( 2 ) ) $ + $ ( ( 0 ),( 1 ),( -3 ) ) $ .
quindi la retta r(t) sarà una retta con vettore direttore $ ( ( 1 ),( 1 ),( 2 ) ) $ e passante per P = (-1,1,3)
quindi r(t) = t $ ( ( 1 ),( 1 ),( 2 ) ) $ + $ ( ( -1 ),( 1 ),( 3 ) ) $ .
Però nel libro la risposta corretta è la c è non capisco il perchè.
Grazie!!
Si consideri il quadrato chiuso $X = [0, 1] × [0, 1]subRR^2$ con la relazione di equivalenza $∼$ definita come:
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2) ⇔ (x_1, y_1) = (x_2, y_2)$ o $({x_1, x_2} = {0, 1} e y_1 + y_2 = 1).$
Lo spazio topologico quoziente $X_(/∼$ `e detto nastro di Mobius. Si provi che il nastro di Mobius non è omeomorfo a $S^1xx[0,1]$.
Intanto lascio una foto del nastro di Mobius:
Osservando le proprietà topologiche del nastro di Mobius e di $S^1xx[0,1]$ ho notato che sono entrambi compatti,T2,connessi per ...
Sia $X$ un insieme qualsiasi. Si provi che esiste una topologia $\tau$ su $X$ tale che lo spazio topologico $(X,\tau)$ è compatto e T2.
Sia $x inX$, poniamo $Y=X\\{x}$ e consideriamo lo spazio topologico $(Y,\tau_D)$ (dove $\tau_D$ è la topologia discreta su $Y$). Poniamo $A_{infty}={AsubeX|x inA, X\\A$ è chiuso e compatto in $Y}$. Definiamo la topologia $\hat \tau =\tau_DuuA_{infty}$. Lo spazio topologico ...
Sia $WsubeRR^n$ un sottospazio affine di dimensione $k$. Si provi che $RR^n\\W$ è omotopicamente equivalente a $S^(n−k−1)$.
A meno di una traslazione (che è un omeomorfismo), possiamo supporre che $W$ passi per l’origine e a meno di un automorfismo lineare (ancora un omeomorfismo) possiamo supporre che le $k$ coordinate di $W$ siano le ultime $k$ in $RR^n$. Ma allora $RR^n\\W$ è ...
Sia $X$ uno spazio topologico e sia $x inX$ un punto. Se $X$ è T3, allora $x$ ammette un sistema fondamentale di intorni chiusi.
Sia $U$ un intorno di $x$, allora $EEA$ aperto di $X$ tale che $x inAsubU$, si ha che $X\\A$ è chiuso e non contiene $x$. Siccome $X$ è T3 $EEB,C$ aperti di $X$ tali che $x inB$, ...
Ciao Ragazzi
Io ho pensato di risolverla così:
Ho una matrice 2x3 $ ( ( a , b , c ),( d , e , f ) ) $ . Però ho che f(x) = f(x^) = e1 = (1,0) e quindi mi verrebbe da dire che la matrice diventa $ ( ( a , 1 , 1 ),( d , 0 , 0 ) ) $ e quindi avendo 2 variabili libere la dimensione è 2.
Però la risposta corretta è la b) Dim = 3
Grazie!!
Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici tali che il prodotto $Xxx Y$ è T4. Si provi che $X$ e $Y$ sono T4.
Facciamo il caso con $X$ (analogamente si dimostra per $Y$).
Siano $F,G$ chiusi disgiunti in $X$. Si ha quindi che $FxxY$ e $GxxY$ sono chiusi disgiunti in $XxxY$, ma allora siccome $Xxx Y$ è T4 $EEA,B$ aperti ...
Siano $n,p inNN$ con $n!=p$. Perchè vale che $AAx inRR^p$ non esiste un aperto di $RR^p$ che contiene $x$ che sia omeomorfo a un aperto di $RR^n$?
L'idea mia era che se esistesse $A$ aperto di $RR^p$ omeomorfo a $B$ aperto di $RR^n$, supposto $n>p$ (analogo $p>n$) se io considero $WsubRR^n$ un sottospazio affine di dimensione $p-1$ allora ...
Ciao a tutti,
Mi rivolgo a voi perché mi sono abbattuto in una dimostrazione e avrei bisogno di un aiuto. Sto cercando di dimostrare il seguente teorema:
"Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e sia f : V → V un endomorfismo. Provare che se λ ∈ K è un autovalore di f, allora λ elevato alla 2 è un autovalore di f elevato alla 2."
Vorrei chiedervi se potete aiutarmi a confermare questa dimostrazione o darmi qualche suggerimento su come affrontare il problema.
Ecco come ho iniziato la mia ...
Sul libro che per dimostrare che due spazi sono omeomorfi basta dimostrare (ragionando con gli aperti) che sono topologicamente quivalenti, cioe' un aperto in uno spazio lo e' anche nell'altro(e viceversa). Perche'? Io so che due spazi sono omeomoeorfi se esiste una funzione tra i due spazi continua e con anche l'inversa continua. E dove sarebbe il legame tra le due cose?
Sapendo che due spazi sono topologicamente identici, dove sarebbe questa funzione omeomorfa?
Stavo cercando alcuni esercizi svolti e per trovare la base del radicale di un prodotto scalare ho trovato come metodo risolutivo quello di:
1) Calcolare una matrice rappresentativa $M$ del prodotto scalare rispetto a una base $B$
2) prendere un vettore qualsiasi $vecx$ e scrivere il vettore componenti $vecx_c$ rispetto alla base B
3) Trovare le soluzioni di $M\vecx_c=\vec0_c$
4) Trovo la base dello spazio delle soluzioni $B_s$ di tale ...
Ciao a tutti,
devo calcolare la posizione del centro di massa di una semicirconferenza omogenea (densità costante in ogni punto).
Voglio fare il calcolo in coordinate polari.
Faccio il calcolo come illustrato nell'allegato.
Mi pare tutto giusto, ma ovviamente sbaglio qualcosa.
Infatti la posizione del baricentro viene correttamente a pi/2 (su asse di simmetria), ma il raggio del baricentro mi viene a 2/3 del raggio della Circonferenza, mentre i calcoli che trovo su internet (fatti in coordinate ...
Salve a tutti,
Tra pochi giorni ho lo scritto di algebra lineare, mi sono imbattuto in questo quesito e non ho assolutamente ben chiaro sul come procedere in questo caso, andando a cercare gli autovalori non ne esco, qualcuno potrebbe aiutarmi?
Si consideri la matrice complessa:
t 1 2
1 t t
0 0 1
Dire per quali valori di t ∈ C, At `e diagonalizzabile
stavo leggendo una dimostrazione quando sono incappato nella affermazione che le proiezioni sono mappe aperte, ovvero mandano aperti in aperti, in quel caso si parlava di proiezioni da R^n a R^m. Ho provato a guardare online ma non trovo quello che cerco, praticamente il fatto che le proiezioni sono mappe aperte vuol dire che un aperto di R^n dev'essere per forza il prodotto cartesiano di aperti, ma non mi sono cimentato a dimostrare questo fatto tramite le bolle perchè penso sia un po' lungo e ...
Per quale motivo ogni spazo finito dimensionale e' chiuso, mentre a dimensione infinita non e' piu' cosi'? La chiave sta nel fatto che a dimensione infinita non e' piu' vero che l'unione di chiusi e' ancora chiuso? Qual'e' un esempio di sottospazio vettoriale infinito dimensionale non chiuso? Grazie
Ho un dubbio su come trovare due matrici 2x2 che diano per prodotto matrice nulla, ma che sia data da prodotto di due matrici con nessun elemento nullo.
La mia idea era moltiplicare due matrici di elementi $a,b,c,d$ e $f,g,h,i$ porre il prodotto uguale alla matrice nulla e risolvere.
Ma ottengo un sistema:
$ae+bg=0$
$af+bh=0$
$ce+dg=0$
$cf+dh=0$
e per quanto mi ostini a risolverlo non trovo solutioni utili dato che i parametri mi si ...
Ciao ragazzi non riesco a risolvere questo esercizio.
End (R^3) è una matrice 3x3 = $ ( ( a , b , c ),( d , e , f ),( g , h , i ) ) $ ; però so che l'immagine di e1 = (1,0,2) => la matrice diventa $ ( ( 1 , b , c),( 0 , e , f ),( 2 , h , i ) ) $
l'altra condizione è che il ker(f) = span (1,0,-1) => possiamo dire che la dimensione del ker(f) = 1;
da qui non so più come procedere e non so come faccio a dire che V non è uno spazio vettoriale.
Grazie per le risposte!!
Salve a tutti. Mi servirebbe un piccolo check su un conto da me fatto riguardo un'osservazione fatta dal mio professore.
Lui ha affermato che se ho una base ortonormale su uno spazio $V$ di dimensione $n$, allora posto $P_k := P_{e_k} = \frac{\langle e_k, \* \rangle}{||e_k||^2}e_k = \langle e_k, \* \rangle e_k $ si ha che $P_k ^n = P_k$
L'osservazione è morta lì purtroppo e stavo cercando di capire come ci si arrivasse.
Ho capito che ci sono due vie, una più semplice (l'ho scoperta da una dispensa di qualche facoltà di matematica e penso ...
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