Dimostrazione complemento ortogonale
Ciao, c'è una affermazione del mio professore che vorrei dimostrare: è un fatto che $(W_1∩W_2)^⊥=W_1^⊥+W_2^⊥$
Dunque:
siano $W_1$ e $W_2$ sottospazi di $V$
Dimostrar(si):
$(W_1∩W_2)^⊥=W_1^⊥+W_2^⊥$
Dim (mia di cui non ho molta certezza):
esplicitando:
1) $x in (W_1∩W_2)^⊥ <=> x*g=0, AAg in (W_1∩W_2) <=> x*g=0, AA g in W_1 and g in W_2$
2) $x in W_1^⊥+W_2^⊥ <=> x=w_1+w_2$ con $(w_1 in W_1^⊥ <=> w_1*k_1=0, AA k_1 in W_1) and (w_2 in W_2^⊥ <=> w_2*k_2=0, AA k_2 in W_2)$
⊆) scrivo $x in V$ come $x=w_1+w_2$ con $w_1,w_2 in V$, siccome per ipotesi x appartiene a $(W_1∩W_2)^⊥$ scrivo $x*g=(w_1+w_2)*g=0, AAg in (W_1∩W_2)$ => $w_1*g+w_2*g=0 <=> w_1*g=0 and w_2*g=0$ ma g appartiene a $W_1 e W_2$ e quindi ho la definizione 2).
Ho in sostanza mostrato che posso scrivere $x=w_1+w_2$ t.c $w_1*g=0$ e g in $W_1$ e $w_2*g=0$ e g in $W_2$
⊇) abbiamo detto che per ipotesi $x in W_1^⊥+W_2^⊥$, quindi $x=w_1+w_2$ e i k1, k2 come in 2), quindi:
- $x*k_1=(w_1+w_2)*k_1=w_1*k_1+w_2*k_1=w_2*k_1$ da cui: $(w_1+w_2)=k_1/k_1*w_2 => w_1+w_2=w_2$
identicamente:
- $x*k_2=(w_1+w_2)*k_2=w_1*k_2+w_2*k_2=w_1*k_2$ => $(w_1+w_2)=w_1$
In definitiva: $w_1+w_2=w_1=w_2$
Quindi (essendo w1=w2): $x*k_1=w_2*k_1=w_1*k_1=w_2*k_2=x*k_2$ da cui: $k_1=k_2$
A questo punto la scrittura $x=w_1+w_2$ con $w_1*k_1=0, k_1 in W_1$ e $w_2*k_2=0, k_2 in W_1$ equivale alla scrittura $x=w_1+w_2$ con $w_1*k_1=0, k_1 in W_1$ e $w_2*k_1=0, k_1 in W_2$, il che vuol dire che:
$x*k_1=(w_1+w_2)k_1=0$ con $k_1 in W_1 and W_2$ che è proprio la definizione di $(W_1∩W_2)^⊥$
Insomma se $x in W_1^⊥+W_2^⊥ => x in (W_1∩W_2)^⊥$
potrebbe andar bene? C'è una via migliore (se mai fosse giusta quella indicata)?
Dunque:
siano $W_1$ e $W_2$ sottospazi di $V$
Dimostrar(si):
$(W_1∩W_2)^⊥=W_1^⊥+W_2^⊥$
Dim (mia di cui non ho molta certezza):
esplicitando:
1) $x in (W_1∩W_2)^⊥ <=> x*g=0, AAg in (W_1∩W_2) <=> x*g=0, AA g in W_1 and g in W_2$
2) $x in W_1^⊥+W_2^⊥ <=> x=w_1+w_2$ con $(w_1 in W_1^⊥ <=> w_1*k_1=0, AA k_1 in W_1) and (w_2 in W_2^⊥ <=> w_2*k_2=0, AA k_2 in W_2)$
⊆) scrivo $x in V$ come $x=w_1+w_2$ con $w_1,w_2 in V$, siccome per ipotesi x appartiene a $(W_1∩W_2)^⊥$ scrivo $x*g=(w_1+w_2)*g=0, AAg in (W_1∩W_2)$ => $w_1*g+w_2*g=0 <=> w_1*g=0 and w_2*g=0$ ma g appartiene a $W_1 e W_2$ e quindi ho la definizione 2).
Ho in sostanza mostrato che posso scrivere $x=w_1+w_2$ t.c $w_1*g=0$ e g in $W_1$ e $w_2*g=0$ e g in $W_2$
⊇) abbiamo detto che per ipotesi $x in W_1^⊥+W_2^⊥$, quindi $x=w_1+w_2$ e i k1, k2 come in 2), quindi:
- $x*k_1=(w_1+w_2)*k_1=w_1*k_1+w_2*k_1=w_2*k_1$ da cui: $(w_1+w_2)=k_1/k_1*w_2 => w_1+w_2=w_2$
identicamente:
- $x*k_2=(w_1+w_2)*k_2=w_1*k_2+w_2*k_2=w_1*k_2$ => $(w_1+w_2)=w_1$
In definitiva: $w_1+w_2=w_1=w_2$
Quindi (essendo w1=w2): $x*k_1=w_2*k_1=w_1*k_1=w_2*k_2=x*k_2$ da cui: $k_1=k_2$
A questo punto la scrittura $x=w_1+w_2$ con $w_1*k_1=0, k_1 in W_1$ e $w_2*k_2=0, k_2 in W_1$ equivale alla scrittura $x=w_1+w_2$ con $w_1*k_1=0, k_1 in W_1$ e $w_2*k_1=0, k_1 in W_2$, il che vuol dire che:
$x*k_1=(w_1+w_2)k_1=0$ con $k_1 in W_1 and W_2$ che è proprio la definizione di $(W_1∩W_2)^⊥$
Insomma se $x in W_1^⊥+W_2^⊥ => x in (W_1∩W_2)^⊥$
potrebbe andar bene? C'è una via migliore (se mai fosse giusta quella indicata)?
Risposte
Purtroppo è quasi tutto sbagliato. Ti dò delle indicazioni per l'inclusione $supseteq$.
Prendi $v=u_1+u_2 in W_1^(bot)+W_2^(bot)$ con $u_1 in W_1^(bot)$ e $u_2 in W_2^(bot)$. Devi mostrare che $v in (W_1 nn W_2)^(bot)$. Per fare questo prendi $w in W_1 nn W_2$ e dimostra che $v*w=0$. È facilissimo, prova. Si dimostra in una riga.
Quanto all'altra inclusione, in generale non vale. Stai supponendo che la dimensione di $V$ è finita?
Prendi $v=u_1+u_2 in W_1^(bot)+W_2^(bot)$ con $u_1 in W_1^(bot)$ e $u_2 in W_2^(bot)$. Devi mostrare che $v in (W_1 nn W_2)^(bot)$. Per fare questo prendi $w in W_1 nn W_2$ e dimostra che $v*w=0$. È facilissimo, prova. Si dimostra in una riga.
Quanto all'altra inclusione, in generale non vale. Stai supponendo che la dimensione di $V$ è finita?
Ciao 
Mi spiace non tanto perché sia sbagliato quanto più perché pur rileggendola non vedo gli errori, che noia. Così non riuscirò a capire dove sbaglio.
⊇) io assumo $x in W_1^⊥+W_2^⊥$, quindi $x in W_1^⊥+W_2^⊥ <=> x=w_1+w_2$ con $(w_1 in W_1^⊥ <=> w_1*k_1=0, AA k_1 in W_1) and (w_2 in W_2^⊥ <=> w_2*k_2=0, AA k_2 in W_2)$
fin qui per definizione, quindi non dovrebbero sussistere errori.
quello che ora faccio è moltiplicare tale x per k1 e k2 suddetti
- $x*k_1=(w_1+w_2)*k_1=w_1*k_1+w_2*k_1=w_2*k_1$ da cui: $(w_1+w_2)=k_1/k_1*w_2 => w_1+w_2=w_2$
identicamente:
- $x*k_2=(w_1+w_2)*k_2=w_1*k_2+w_2*k_2=w_1*k_2$ => $(w_1+w_2)=w_1$
da questi mostro che:
Ma avendo dimostrato che k1=k2 a questo punto la scrittura della definizione diventa
$x=w_1+w_2$ con $(w_1*k_1=0, AA k_1 in W_1) and (w_2*k_1=0, AA k_1 in W_2)$
quindi
$AA k_1 in W_1 and W_2, x*k_1=(w_1+w_2)*k_1=0+0=0$ e questa non è proprio la definizione di $x in (W_1∩W_2)^⊥$?
Non riesco proprio a vedere l'errore, cioè quale passaggio sia "illegittimo"
Ad ogni modo, seguendo la tua via:
$v*w=u_1*w+u_2*w=0+0=0$ 0+0 poiché u1 appartenendo a W1 ortogonale per definizione darà zero nel prodotto con w che appartiene sia a W1 che W2 (essendo nell'intersezione), idem per l'altro zero.
Poi sì, siamo nel caso finito. In effetti non ho pensato di precisarlo perché in algebra lineare 1 non abbiamo nemmeno parlato del caso infinito e ragiono sempre per finitamente generati. Però sì, lo è: è finito, quindi vale anche l'altra inclusione. Come potrei farla?
Mi spiace non tanto perché sia sbagliato quanto più perché pur rileggendola non vedo gli errori, che noia. Così non riuscirò a capire dove sbaglio.
⊇) io assumo $x in W_1^⊥+W_2^⊥$, quindi $x in W_1^⊥+W_2^⊥ <=> x=w_1+w_2$ con $(w_1 in W_1^⊥ <=> w_1*k_1=0, AA k_1 in W_1) and (w_2 in W_2^⊥ <=> w_2*k_2=0, AA k_2 in W_2)$
fin qui per definizione, quindi non dovrebbero sussistere errori.
quello che ora faccio è moltiplicare tale x per k1 e k2 suddetti
- $x*k_1=(w_1+w_2)*k_1=w_1*k_1+w_2*k_1=w_2*k_1$ da cui: $(w_1+w_2)=k_1/k_1*w_2 => w_1+w_2=w_2$
identicamente:
- $x*k_2=(w_1+w_2)*k_2=w_1*k_2+w_2*k_2=w_1*k_2$ => $(w_1+w_2)=w_1$
da questi mostro che:
In definitiva: $w_1+w_2=w_1=w_2$
Quindi (essendo w1=w2): $x*k_1=w_2*k_1=w_1*k_1=w_2*k_2=x*k_2$ da cui: $k_1=k_2$
Ma avendo dimostrato che k1=k2 a questo punto la scrittura della definizione diventa
$x=w_1+w_2$ con $(w_1*k_1=0, AA k_1 in W_1) and (w_2*k_1=0, AA k_1 in W_2)$
quindi
$AA k_1 in W_1 and W_2, x*k_1=(w_1+w_2)*k_1=0+0=0$ e questa non è proprio la definizione di $x in (W_1∩W_2)^⊥$?
Non riesco proprio a vedere l'errore, cioè quale passaggio sia "illegittimo"
Ad ogni modo, seguendo la tua via:
$v*w=u_1*w+u_2*w=0+0=0$ 0+0 poiché u1 appartenendo a W1 ortogonale per definizione darà zero nel prodotto con w che appartiene sia a W1 che W2 (essendo nell'intersezione), idem per l'altro zero.
Poi sì, siamo nel caso finito. In effetti non ho pensato di precisarlo perché in algebra lineare 1 non abbiamo nemmeno parlato del caso infinito e ragiono sempre per finitamente generati. Però sì, lo è: è finito, quindi vale anche l'altra inclusione. Come potrei farla?
"panausen":Questo non ha nessun senso, $k_1$ è un vettore. Cosa significa $k_1/k_1$? Stai facendo le operazioni come se i termini coinvolti fossero numeri, ma sono vettori. La conclusione $w_1+w_2=w_2$ è completamente sbagliata.
quello che ora faccio è moltiplicare tale x per k1 e k2 suddetti
- $x*k_1=(w_1+w_2)*k_1=w_1*k_1+w_2*k_1=w_2*k_1$ da cui: $(w_1+w_2)=k_1/k_1*w_2 => w_1+w_2=w_2$
La conclusione che hai tratto seguendo il mio consiglio è corretta e dimostra che $W_1^(bot)+W_2^(bot)$ è contenuto in $(W_1 nn W_2)^(bot)$.
L'altra inclusione in generale non vale in dimensione infinita quindi non si può dimostrare "insiemisticamente". Per dimostrarla, nel caso in cui $V$ ha dimensione finita, l'idea è dimostrare che $W_1^(bot)+W_2^(bot)$ e $(W_1 nn W_2)^(bot)$ hanno la stessa dimensione, per poi dedurre che sono uguali dal fatto che il primo è contenuto nel secondo. Infatti se hai uno spazio finito-dimensionale $W$ e un suo sottospazio $U$ con $dim(U)=dim(W)$ allora ovviamente $U=W$.
Per farlo, puoi applicare la relazione dimensionale
$dim(A+B) = dim(A)+dim(B)-dim(A nn B)$ per ogni $A,B$ sottospazi di $V$.
Inoltre devi anche usare la relazione $dim(A^(bot))=dim(V)-dim(A)$. Con queste informazioni riesci a concludere facilmente, prova.
"Martino":
Questo non ha nessun senso, $k_1$ è un vettore. Cosa significa $k_1/k_1$?
Significa che sono un idiota! Li pensavo come elementi di insiemi (numerici) ma non pensavo più al fatto che fossero vettori
Direi tutto chiarissimo per il resto. So ben sfruttare quella conclusione sulle dimensioni (avevo già fatto esercizi al riguardo) ma non avevo pensato di usarla qui. Anche perché mi sarei ostinato a pensarla insiemisticamente e non avrei mai detto che non sarebbe funzionata.
Vorrei solo porti due ultime domande poi non disturbo più
1) come avrei potuto capire che insiemisticamente l'altra inclusione non funzionava in generale? Non me la sarei mai data e vorrei capire che trick usare per capire la non validità generale di quella inclusione.
2) ovviamente so (ora grazie alle tue parole) che l'altra inclusione non funziona, ma se posso chiederti e romperti le scatole, dove è l'errore qui? Scusa ma cerco sempre di capire le caxate che vado dicendo
"panausen":
⊆) scrivo $x in V$ come $x=w_1+w_2$ con $w_1,w_2 in V$, siccome per ipotesi x appartiene a $(W_1∩W_2)^⊥$ scrivo $x*g=(w_1+w_2)*g=0, AAg in (W_1∩W_2)$ => $w_1*g+w_2*g=0 <=> w_1*g=0 and w_2*g=0$ ma g appartiene a $W_1 e W_2$ e quindi ho la definizione 2).
Ho in sostanza mostrato che posso scrivere $x=w_1+w_2$ t.c $w_1*g=0$ e g in $W_1$ e $w_2*g=0$ e g in $W_2$
Un enorme grazie e alla prossima!!
"panausen":Non ti so dire, sono cose che si capiscono col tempo. Tra l'altro è anche difficile costruire un controesempio nel caso infinito dimensionale, se ti interessa prova a cercare su google "orthogonal complement of intersection" (sì, in inglese e sì, bisogna sapere l'inglese per fare matematica).
come avrei potuto capire che insiemisticamente l'altra inclusione non funzionava in generale? Non me la sarei mai data e vorrei capire che trick usare per capire la non validità generale di quella inclusione.
"panausen":Questo è sbagliato, se una somma di due numeri è zero i due numeri non sono necessariamente nulli, per esempio $2+(-2)=0$.
$w_1*g+w_2*g=0 <=> w_1*g=0 and w_2*g=0$
Eh sono proprio scemo. E' che quando mi dicono o vedo che non capisco una cosa vado nel panico e faccio più danni che altro. L'avrò riletta 5 volte e non mi ero accordo, incredibile, non ho parole. Ti ringrazio per la tua pazienza e aiuto.
Hai ragionissima. Grazie mille nuovamente.
se ti interessa prova a cercare su google "orthogonal complement of intersection" (sì, in inglese e sì, bisogna sapere l'inglese per fare matematica).
Hai ragionissima. Grazie mille nuovamente.
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