Costruzione di una matrice a partire da autospazi

[Stefano190810]

Buongiorno,
Ho trovato un quesito che mi mette parecchio in difficoltà.
Fornisci un esempio di una matrice reale A 3x3 tale che:
* il polinomio caratteristico sia PA (x) = -х(x - 1)^2
* l'autospazio associato all’autovalore 0 sia Vo=Span ([1 0 1])
* L’autospazio associato all’autovalore 1 sta V1=Span ([-1 1 0])


Io provato a risolvere con una matrice diagonale con autovalori sulla diagonale ma mi blocco sugli autospazi

[Noodles1]

Poichè l'autovalore $1$ ha molteplicità geometrica minore di quella algebrica, la matrice non è diagonalizzabile. Motivo per il quale è necessario partire dalla forma canonica sottostante:

$k ne 0$

$[[0,0,0],[0,1,k],[0,0,1]]$

A questo punto, dopo aver considerato la base sottostante:

$[[1],[0],[1]]$

$[[-1],[1],[0]]$

$[[0],[0],[1]]$

comprendente i due autovettori asssegnati, è sufficiente operare il relativo cambiamento di base:

$k ne 0$

$[[1,-1,0],[0,1,0],[1,0,1]]*[[0,0,0],[0,1,k],[0,0,1]]*[[1,-1,0],[0,1,0],[1,0,1]]^(-1)=$

$=[[1,-1,0],[0,1,0],[1,0,1]]*[[0,0,0],[0,1,k],[0,0,1]]*[[1,1,0],[0,1,0],[-1,-1,1]]=$

$=[[0,-1,-k],[0,1,k],[0,0,1]]*[[1,1,0],[0,1,0],[-1,-1,1]]=$

$=[[k,k-1,-k],[-k,-k+1,k],[-1,-1,1]]$

Volendo assegnarne solo una:

$k=1$

$[[1,0,-1],[-1,0,1],[-1,-1,1]]$