Dimostrazione della direzione di due vettori

ErMaestro
Buongiorno,
potreste gentilmente fornirmi la soluzione (quindi le due dimostrazioni) del seguente esercizio?

"Siano $A$, $B$ due vettori non nulli nell'$n$-spazio. Sia $\vartheta$ il loro angolo. Supposto $cos(vartheta)=1$,
dimostrare che $A$ e $B$ hanno la stessa direzione. Se invece $cos(vartheta)=-1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno
direzioni opposte."

Geometricamente lo so che è così, è ovvio, però io vorrei proprio la dimostrazione algebrica, quindi devo arrivare a dimostrare che esiste un numero reale $c>0$ ($c<0$, nel secondo caso) tale che $cA = B$.
Io so che $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$, però una volta sostituito a $cos(vartheta)$ 1 o -1 non so come andare avanti...

Risposte
Angus1956
"ErMaestro":
Buongiorno,
potreste gentilmente fornirmi la soluzione (quindi le due dimostrazioni) del seguente esercizio?

"Siano $A$, $B$ due vettori non nulli nell'$n$-spazio. Sia $\vartheta$ il loro angolo. Supposto $cos(vartheta)=1$,
dimostrare che $A$ e $B$ hanno la stessa direzione. Se invece $cos(vartheta)=-1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno
direzioni opposte."

Geometricamente lo so che è così, è ovvio, però io vorrei proprio la dimostrazione algebrica, quindi devo arrivare a dimostrare che esiste un numero reale $c>0$ ($c<0$, nel secondo caso) tale che $cA = B$.
Io so che $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$, però una volta sostituito a $cos(vartheta)$ 1 o -1 non so come andare avanti...

Hai che $B*B=||B||^2=||B||||B||=||B||/||A||A*B$, da cui $(B-||B||/||A||A)*B=0$, poi continua tu...

ErMaestro
"andreadel1988":
[quote="ErMaestro"]Buongiorno,
potreste gentilmente fornirmi la soluzione (quindi le due dimostrazioni) del seguente esercizio?

"Siano $A$, $B$ due vettori non nulli nell'$n$-spazio. Sia $\vartheta$ il loro angolo. Supposto $cos(vartheta)=1$,
dimostrare che $A$ e $B$ hanno la stessa direzione. Se invece $cos(vartheta)=-1$, dimostrare che $A$ e $B$ hanno
direzioni opposte."

Geometricamente lo so che è così, è ovvio, però io vorrei proprio la dimostrazione algebrica, quindi devo arrivare a dimostrare che esiste un numero reale $c>0$ ($c<0$, nel secondo caso) tale che $cA = B$.
Io so che $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$, però una volta sostituito a $cos(vartheta)$ 1 o -1 non so come andare avanti...

Hai che $B*B=||B||^2=||B||||B||=||B||/||A||A*B$, da cui $(B-||B||/||A||A)*B=0$, poi continua tu...[/quote]
Premessa:
Ho letto il suggerimento che mi avevi dato prima...

Da qui ho che $(B-||B||/||A||A)*B=0$ implica $B-||B||/||A||A=0$, quindi $B=||B||/||A||A$. Perciò, esiste uno $c=||B||/||A||$ ($c>0$ perchè il rapporto di due numeri maggiori di 0) tale che $cA=B$.
Lo stesso ragionamento lo faccio per l'altro caso, dove però abbiamo che $A*B=-||A||||B||$. Quindi si arriverà a $(B+||B||/||A||A)*B=0$ il quale implica $B=-||B||/||A||A$. Quindi esiste uno $c=-||B||/||A||$ ($c<0$ perchè il rapporto di due numeri maggiori di 0 cambiato di segno) tale che $cA=B$.
c.v.d.

E' tutto giusto?
Quindi la formula $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$ vale (oltre che nel piano) in un qualsiasi n-spazio?

P.S.:
Per il passaggio chiave quindi devo dimostrare che dati due vettori $X$, $Y$, se $X-Y$ è ortogonale a $X$ (quindi $(X-Y)*X=0$) allora $X=Y$... come si fa? :shock:

Angus1956
Prova a vedere se riesci a trovare un modo, in caso mi dici, però prova tu prima...

ErMaestro
L'unica cosa che mi viene da fare è svolgere il prodotto fino ad arrivare $X*X=Y*X$, e da qui dire che questa uguaglianza è vera solo se $X=Y$, ma non so se è così semplice.. ahahaha

Angus1956
"ErMaestro":
$X*X=Y*X$, e da qui dire che questa uguaglianza è vera solo se $X=Y$, ma non so se è così semplice.. ahahaha

No questo non è vero considera ad esempio il vettore $X=((1),(0))$ e $Y=((1),(1))$ si ha che $X*X=X*Y=1$ ma $X!=Y$. In effetti non ero sicuro del suggerimento e l'ho cancellato, devo rivedere bene come fare che non sto a casa ora, scusami.

ErMaestro
"andreadel1988":
[quote="ErMaestro"]$X*X=Y*X$, e da qui dire che questa uguaglianza è vera solo se $X=Y$, ma non so se è così semplice.. ahahaha

No questo non è vero considera ad esempio il vettore $X=((1),(0))$ e $Y=((1),(1))$ si ha che $X*X=X*Y=1$ ma $X!=Y$. In effetti non ero sicuro del suggerimento e l'ho cancellato, devo rivedere bene come fare che non sto a casa ora, scusami.[/quote]
Ah, allora la dimostrazione è sbagliata...(?)
Comunque okay, va bene, quando puoi fammi sapere, tranquillo. Anzi, grazie mille

Angus1956
Ripartiamo da $(B-||B||/||A||A)*B=0$, supponi per assurdo che $(B-||B||/||A||A)$ è un vettore non nullo e vedi cosa succede se fai $(B-||B||/||A||A)*(B-||B||/||A||A)!=0$ ...

ErMaestro
"andreadel1988":
Ripartiamo da $(B-||B||/||A||A)*B=0$, supponi per assurdo che $(B-||B||/||A||A)$ è un vettore non nullo e vedi cosa succede se fai $(B-||B||/||A||A)*(B-||B||/||A||A)!=0$ ...

Abbiamo che $(B-||B||/||A||A)*(B-||B||/||A||A)>0$ perchè il prodotto scalare di un vettore non nullo con se stesso è sempre maggiore di zero. Sviluppando la disuguaglianza abbiamo $||B||^2-2||B||/||A||A*B + ||B||^2/||A||^2||A||^2>0$; quindi, sapendo che $A*B=||A||||B||$, si arriva ad $2||B||^2-2||B||^2>0$, quindi $0>0$, il che è assurdo!!! Questo perchè abbiamo assunto il vettore $(B-||B||/||A||A)$ non nullo, quindi in realtà deve essere nullo, (il prodotto scalare di un vettore con se stesso è uguale a 0 solo se il vettore è nullo). Perciò, $(B-||B||/||A||A)=0$ e da qui riprende la dimostrazione che ho fatto prima.
Nell'altro caso invece si fanno le stesse considerazioni ma con il vettore $(B+||B||/||A||A)$ e si arriva alle stesse conclusioni. E' tutto corretto, vero??? :D
Grazie mille!

Un ultima cosa:
quindi la formula $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$ è valida sempre? Nel piano, quindi in due dimensioni, so che è così.. ma anche (come dice l'esercizio) se mi trovo in un $n$-spazio qualsiasi? Voglio essere sicuro perchè parte tutto da questa formula ahahaha ma credo lo sia, dato che non mi hai obiettato su questo... :-D

Angus1956
Se vuoi ripulire la dimostrazione puoi semplicemente partire dal fatto che $||(B-||B||/||A||A)||=0$ ( e lo mostri come hai fatto tu) ma allora necessariamente $(B-||B||/||A||A)=0$ da cui la tesi.

Angus1956
"ErMaestro":

Un ultima cosa:
quindi la formula $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$ è valida sempre? Nel piano, quindi in due dimensioni, so che è così.. ma anche (come dice l'esercizio) se mi trovo in un $n$-spazio qualsiasi? Voglio essere sicuro perchè parte tutto da questa formula ahahaha ma credo lo sia, dato che non mi hai obiettato su questo... :-D

Ora che mi ci fai pensare credo che forse in $n$ dimensioni non vale, penserei al piano che ègenerato dai due vettori ma non credo funzioni per il numero di coordinate, do un occhiata.

Angus1956
A naso ti direi presi i due vettori $(u_1,...,u_n)$ e $(v_1,...,v_n)$ proietti i due vettori su un piano, ad esempio sul piano $Ox_1x_2$, e poi usi quello che hai dimostrato sul piano, ovvero sui vettori $(u_1,u_2)$ e $(v_1,v_2)$, da questo trovi che $u_1=v_1$ e $u_2=v_2$. Lo applichi a tutti i $v_i$ e $u_i$ ed hai fatto

ErMaestro
"andreadel1988":
A naso ti direi presi i due vettori $(u_1,...,u_n)$ e $(v_1,...,v_n)$ proietti i due vettori su un piano, ad esempio sul piano $Ox_1x_2$, e poi usi quello che hai dimostrato sul piano, ovvero sui vettori $(u_1,u_2)$ e $(v_1,v_2)$, da questo trovi che $u_1=v_1$ e $u_2=v_2$. Lo applichi a tutti i $v_i$ e $u_i$ ed hai fatto

Penso di aver capito quello che intendi. Sinceramente non so...
Comunque, nell'immagine seguente c'è l'UNICA parte di teoria dell'esercizio e, riguardando meglio la parte <> ecc. (il teorema 1 è la disuguaglianza di Schwarz $(A*B)^2<=(A*A)(B*B)$ o anche $|(A*B)|<=||A||||B||$, con $A$, $B$ due vettori qualsiasi), sembra che quella formula valga in un $n$-spazio qualsiasi appunto, e quindi credo che la nostra dimostrazione sia corretta... o no?
Tu che dici?


Angus1956
In effetti se un valore è compreso tra $-1$ e $1$ si puo esprimere come il coseno di un angolo, ma a priori in dimensioni maggiori di $2$ non credo che corrisponda con l'angolo fra i due vettori, per questo esiste la disgualianza di Cuachy-Schwartz, però forse come ti dicevo io nel momento in cui proietti su un piano rimane sempre la disgualianza e quindi puoi usare il fatto che l'angolo sia proprio quello dei due vettori. Comunque se non vuoi starti troppo a scervellare prova a usare un po di algebra lineare e vedere che ti esce e fammi sapere.

ErMaestro
"andreadel1988":
In effetti se un valore è compreso tra $-1$ e $1$ si puo esprimere come il coseno di un angolo, ma a priori in dimensioni maggiori di $2$ non credo che corrisponda con l'angolo fra i due vettori, per questo esiste la disgualianza di Cuachy-Schwartz, però forse come ti dicevo io nel momento in cui proietti su un piano rimane sempre la disgualianza e quindi puoi usare il fatto che l'angolo sia proprio quello dei due vettori. Comunque se non vuoi starti troppo a scervellare prova a usare un po di algebra lineare e vedere che ti esce e fammi sapere.

Okay okay, adesso vedo.
Comunque credo (avendo solo quella teoria) che l'esercizio lo abbiamo svolto correttamente, al di là di questi dubbi. Anzi, a parer mio l'esercizio è stato scritto forse un pò male perchè, come appunto diciamo noi, se $n>2$ l'angolo fra due vettori è un concetto più difficile. Perciò, secondo me l'esercizio voleva farti usare quella formula ($cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$) e arrivare a dove siamo arrivati noi.

Detto ciò, grazie ancora di tutto e del supporto!

Angus1956
Di niente :smt023 . Comunque non ho capito in che senso intendi che l'angolo in $n>2$ sia più difficile. Si tratta alla fine dell'angolo che i due vettori formano sul piano che generano, il problema sta nel fatto che i vettori hanno più di due coordinate e quindi effettivamente non so se quell'angolo è quello che soddisfa $ cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||) $ oppure $vartheta$ forse come ti dicevo io nel momento in cui proietti su un piano rimane sempre la disgualianza e quindi puoi usare il fatto che l'angolo sia proprio quello dei due vettori.

ErMaestro
Sisi, ripensandoci bene deve essere così, giusto. L'angolo $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano che essi generano, e quindi qui la formula vale (stando in un piano). :-)

Angus1956
"ErMaestro":
Sisi, ripensandoci bene deve essere così, giusto. L'angolo $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano che essi generano, e quindi qui la formula vale (stando in un piano). :-)

Aspetta che $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano che essi generano non è detto che è lo stesso angolo di $ cos(theta)=(A*B)/(||A||||B||) $ (parlo in dimensione n>2 sempre). Il problema è che nel piano che essi generano non credo che $vartheta=theta$. Se però proietti ad esempio su $Ox_1x_2$ siccome le altre componenti rimangono fisse allora dovrebbe valere la formula in cui $theta$ (ovvero l'angolo nella formula applicata ai due vettori proiettati nel piano $Ox_1x_2$) è proprio l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano $Ox_1x_2$. Ad esempio in $RR^3$ se prendi i vettori $((1),(2),(3))$ e $((7),(2),(3))$ l'angolo tra i due vettori in $RR^3$ si trova nel piano $span{((1),(2),(3)),((7),(2),(3))}$, mentre se tu proietti i due vettori sul piano $Oxy$ ottieni $((1),(2),(0))$ e $((7),(2),(0))$ e la formula dovrebbe valere perchè la coordinata $z$ si tiene costante. In generale ti basta proiettare su un piano in cui le $n-2$ coordinate rimangano fisse.

ErMaestro
"andreadel1988":
[quote="ErMaestro"]Sisi, ripensandoci bene deve essere così, giusto. L'angolo $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano che essi generano, e quindi qui la formula vale (stando in un piano). :-)

Aspetta che $vartheta$ è l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano che essi generano non è detto che è lo stesso angolo di $ cos(theta)=(A*B)/(||A||||B||) $ (parlo in dimensione n>2 sempre). Il problema è che nel piano che essi generano non credo che $vartheta=theta$. Se però proietti ad esempio su $Ox_1x_2$ siccome le altre componenti rimangono fisse allora dovrebbe valere la formula in cui $theta$ (ovvero l'angolo nella formula applicata ai due vettori proiettati nel piano $Ox_1x_2$) è proprio l'angolo tra i due vettori proiettati nel piano $Ox_1x_2$. Ad esempio in $RR^3$ se prendi i vettori $((1),(2),(3))$ e $((7),(2),(3))$ l'angolo tra i due vettori in $RR^3$ si trova nel piano $span{((1),(2),(3)),((7),(2),(3))}$, mentre se tu proietti i due vettori sul piano $Oxy$ ottieni $((1),(2),(0))$ e $((7),(2),(0))$ e la formula dovrebbe valere perchè la coordinata $z$ si tiene costante. In generale ti basta proiettare su un piano in cui le $n-2$ coordinate rimangano fisse.[/quote]
Capito, capito..
Grazie

Angus1956
"ErMaestro":

Un ultima cosa:
quindi la formula $cos(vartheta)=(A*B)/(||A||||B||)$ è valida sempre? Nel piano, quindi in due dimensioni, so che è così.. ma anche (come dice l'esercizio) se mi trovo in un $n$-spazio qualsiasi?

Ok, ho cercato a fondo su internet e ho trovato che vale in ogni dimensione, riporto l'esempio in dimensione $3$: https://www.matematicamente.it/forum/an ... t5147.html .Ok, credo di aver capito anche il perchè se vuoi saperlo.

ErMaestro
Che fai? Mi lasci sulle spine?? Certo che voglio saperlo! :shock:

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