Zero di un sottospazio vettoriale
Ho una seconda domanda banalotta ma che mi sta facendo riflettere e sono sicuro di aver capito appieno.
So che un teorema per vedere se un sottoinsieme W è sottospazio vettoriale di V, dice che se tale sottoinsieme è chiuso rispetto alle operazioni di V (somma di vettori e prodotto per uno scalare) allora è sottospazio vettoriale.
Vale inoltre il contrario, ossie è un se e solo se.
La chiusura rispetto al prodotto per scalare si scrive come:
per ogni $lambda in KK$ e per ogni $w in W$ ho che $lambda*w in W$
Scegliendo in particolare $lambda=0$ ho che $0*w=0_w in W$ in poche parole il sottoinsieme chiuso per tale operazione contiene l'elemento neutro detto zero (*).
Qui viene il dubbio. Il libro dice: in uno spazio vettoriale lo zero è unico quindi $0_W=0_V$ e questa affermazione non la capisco.
Io so che lo zero in V è l'elemento tale per cui $0+v=v+0=v$ per ogni $v in V$, io con la considerazione (*) mostro solo che anche W ha uno elemento neutro detto zero. Ma il fatto che coincidano è tutt'altra storia, infatti se io ho un elemento neutro k in W esso potrebbe benissimo essere un k tale che $k+w=w+k=w$ per ogni elemento del sottoinsieme e poi per elementi v che non appartengono a W è tale per cui $k+v=v+k!=v$ e questo non rovinerebbe l'unicità dell'elemento neutro di V (chiamiamolo m) tale che $m+v=v+m=v$.
Infatti l'elemento m può essere unico in V ma diverso da k! No?
So che un teorema per vedere se un sottoinsieme W è sottospazio vettoriale di V, dice che se tale sottoinsieme è chiuso rispetto alle operazioni di V (somma di vettori e prodotto per uno scalare) allora è sottospazio vettoriale.
Vale inoltre il contrario, ossie è un se e solo se.
La chiusura rispetto al prodotto per scalare si scrive come:
per ogni $lambda in KK$ e per ogni $w in W$ ho che $lambda*w in W$
Scegliendo in particolare $lambda=0$ ho che $0*w=0_w in W$ in poche parole il sottoinsieme chiuso per tale operazione contiene l'elemento neutro detto zero (*).
Qui viene il dubbio. Il libro dice: in uno spazio vettoriale lo zero è unico quindi $0_W=0_V$ e questa affermazione non la capisco.
Io so che lo zero in V è l'elemento tale per cui $0+v=v+0=v$ per ogni $v in V$, io con la considerazione (*) mostro solo che anche W ha uno elemento neutro detto zero. Ma il fatto che coincidano è tutt'altra storia, infatti se io ho un elemento neutro k in W esso potrebbe benissimo essere un k tale che $k+w=w+k=w$ per ogni elemento del sottoinsieme e poi per elementi v che non appartengono a W è tale per cui $k+v=v+k!=v$ e questo non rovinerebbe l'unicità dell'elemento neutro di V (chiamiamolo m) tale che $m+v=v+m=v$.
Infatti l'elemento m può essere unico in V ma diverso da k! No?
Risposte
E quanto farebbe $k+0$?
"panausen":No, parti da $w+k=w$ (che è un'uguaglianza in $V$) e somma $-w$ ai due membri. Ottieni $k=0$ (dove per $0$ intendo ovviamente $0_V$).
se io ho un elemento neutro k in W esso potrebbe benissimo essere un k tale che $k+w=w+k=w$ per ogni elemento del sottoinsieme e poi per elementi v che non appartengono a W è tale per cui $k+v=v+k!=v$
Beh, direi di no, perche', seguendo il tuo esempio, avremmo l'elemento nullo $m$ che appartiene a $V$, ma anche l'elemento nullo $k$ appartiene a $V$, in quanto appartiene al sottoinsieme $W$ che appartiene a sua volta a $V$.
Quindi $V$ avrebbe due elementi nulli, il che non e' possibile.
Vedi anche:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sottospazio_vettoriale
https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_nullo
Quindi $V$ avrebbe due elementi nulli, il che non e' possibile.
Vedi anche:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sottospazio_vettoriale
https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_nullo
"Quinzio":
Beh, direi di no, perche', seguendo il tuo esempio, avremmo l'elemento nullo $m$ che appartiene a $V$, ma anche l'elemento nullo $k$ appartiene a $V$, in quanto appartiene al sottoinsieme $W$ che appartiene a sua volta a $V$.
Quindi $V$ avrebbe due elementi nulli, il che non e' possibile.
Beh no, perché l'elemento nullo di $W$ lavora sugli elementi di W, che sono meno di V, quindi potrebbero esserci degli elementi di V per cui l'elemento nullo di W non è elemento nullo di V. Era proprio lì che soggiaceva il dubbio.
Devo invece dire che gli altri due spunti non lo ho troppo capiti
Addendum:
Ok quello di matrino mi sembra tornarmi ora, è anche vero che sulla falsa riga dello spunto di quinzio forse posso trovare anche un altro modo posso chiedervi se è giusto?
Ragiono così: se esiste un elemento k che è nullo di W e m elemento nullo di V mi accorgo che l'elemento nullo m è anche elemento nullo di W (essendo sottoinsieme). A questo punto W avrebbe k e m elementi nulli, ma essendo spazio vettoriale W allora i due nulli devono coincidere: ho quindi che m=k cvd.
Facevo l'errore in apertura di ragionare su V (che era quello che dieva quinzio) ma ragionando su W sembra tornare.
E' corretto?
Ok quello di matrino mi sembra tornarmi ora, è anche vero che sulla falsa riga dello spunto di quinzio forse posso trovare anche un altro modo posso chiedervi se è giusto?
Ragiono così: se esiste un elemento k che è nullo di W e m elemento nullo di V mi accorgo che l'elemento nullo m è anche elemento nullo di W (essendo sottoinsieme). A questo punto W avrebbe k e m elementi nulli, ma essendo spazio vettoriale W allora i due nulli devono coincidere: ho quindi che m=k cvd.
Facevo l'errore in apertura di ragionare su V (che era quello che dieva quinzio) ma ragionando su W sembra tornare.
E' corretto?
No no, chi ti dice che $m$ appartiene a $W$?
Spiego meglio l'idea del mio messaggio precedente.
Hai $k$ elemento neutro di $W$ e $m$ elemento neutro di $V$. Scegliamo un qualsiasi $w in W$. Allora abbiamo $w+k=w=k+w$ perché $k$ è neutro di $W$ e $w+m=w=m+w$ perché $m$ è neutro di $V$.
Inoltre per l'esistenza degli opposti esistono $u in V$, $t in W$ tali che $w+u=m=u+w$ e $w+t=k=t+w$
Ora possiamo fare un semplice conto che mostra che $k=m$, che è esattamente quello che volevamo dimostrare.
$m = u+w = u+(w+k) = (u+w)+k = m+k = k$
Spiego meglio l'idea del mio messaggio precedente.
Hai $k$ elemento neutro di $W$ e $m$ elemento neutro di $V$. Scegliamo un qualsiasi $w in W$. Allora abbiamo $w+k=w=k+w$ perché $k$ è neutro di $W$ e $w+m=w=m+w$ perché $m$ è neutro di $V$.
Inoltre per l'esistenza degli opposti esistono $u in V$, $t in W$ tali che $w+u=m=u+w$ e $w+t=k=t+w$
Ora possiamo fare un semplice conto che mostra che $k=m$, che è esattamente quello che volevamo dimostrare.
$m = u+w = u+(w+k) = (u+w)+k = m+k = k$
E' vero che cavolata gigagalattica che ho detto.
Direi che ora ho capito ancora meglio la tua spiegazione e ci sono.
Grazie
Direi che ora ho capito ancora meglio la tua spiegazione e ci sono.
Grazie
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