Differenza fra immersione e inclusione
Non mi è chiara la differenza fra inclusione e immersione:
Se prendo $AsubeX$ definire l'immersione $i:A->X$ non è uguale a dire che $i$ è un inclusione (forse l'inclusione è fra insiemi e l'immersione è fra spazi topologici ma essenzialmente sono la stessa cosa?) perchè immerge un insieme vuol dire metterlo in uno spazio in cui esso appartiene ma allora è se stesso (ben diverso se invece immergo un insieme in un altro insieme che ha le stesse caratteristiche del primo insieme ma che si trova in un insieme diverso da quello in cui si trova il primo). Qualcuno può dirmi grazie.
Se prendo $AsubeX$ definire l'immersione $i:A->X$ non è uguale a dire che $i$ è un inclusione (forse l'inclusione è fra insiemi e l'immersione è fra spazi topologici ma essenzialmente sono la stessa cosa?) perchè immerge un insieme vuol dire metterlo in uno spazio in cui esso appartiene ma allora è se stesso (ben diverso se invece immergo un insieme in un altro insieme che ha le stesse caratteristiche del primo insieme ma che si trova in un insieme diverso da quello in cui si trova il primo). Qualcuno può dirmi grazie.
Risposte
Scrivi le due definizioni.
"otta96":
Scrivi le due definizioni.
Inclusione: Sia $AsubeB$ dicesi funzione inclusione di $A$ in $B$, ed indicasi con la scrittura $i:A->B$, una funzione tale che $i(x)=x$,$AAx inA$
Immersione: Un'applicazione continua e iniettiva $f:X->Y$ tra due spazi topologici che è un omeomorfismo sull'immagine $f(X)$, ovvero $f:X->f(X)$ è un omeomorfismo, con $f(X)$ considerato come sottospazio topologico di $Y$, quindi dotato della topologia indotta dallo spazio ambiente $Y$.
Quindi se $XsubeY$ e $f:X->Y$ è un immersione non è detto che $f(X)=X$ e che $f(x)=x$ $AAx inX$?
Prova a considerare l'identità di \(X\neq\emptyset\) in sé stesso, ove nel dominio consideri la topologia discreta e nel codominio la topologia banale: che accade?
"j18eos":
Prova a considerare l'identità di \(X\neq\emptyset\) in sé stesso, ove nel dominio consideri la topologia discreta e nel codominio la topologia banale: che accade?
Se $X$ ha un solo elemento è un omeomorfismo altrimenti è continua e invertibile ( ma non è omeomorfismo)
Giustissimo!
Quindi hai un esempio di inclusione che non è un'immersione!
Quindi hai un esempio di inclusione che non è un'immersione!
"j18eos":
Giustissimo!
Quindi hai un esempio di inclusione che non è un'immersione!
Ah ok quindi in pratica l'immersione al livello insiemistico fa quello che fa l'inclusione poi a livello topologico ha la proprietà di essere omeomorfismo sull'immagine.
Sì, e se vuoi puoi formalizzare questa frase utilizzando la teoria delle categorie!
"j18eos":
Sì, e se vuoi puoi formalizzare questa frase utilizzando la teoria delle categorie!
Un morfismo nella categoria $Top$?
Usualmente i morfismi nella categoria \(\mathbf{Top}\) sono le funzioni continue!
Le immersioni sono iso-morfismi in \(\mathbf{Top}\) sulle immagini!
Le immersioni sono iso-morfismi in \(\mathbf{Top}\) sulle immagini!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo