Geometria e Algebra Lineare

Sto avendo un po' di difficoltà nel dare un significato grafico a questi due concetti. Perdonate la confusione generale. Da quello che ho inteso uno spazio affine è uno spazio vettoriale che non ha centro privilegiato. Considerando il particolare caso di $R^2$, posso intenderla come una traslazione del piano cartesiano in un punto differente dal centro $O(0,0)$ (nel caso in cui non consideri il riferimento standard)? E' corretta come interpretazione? Inoltre il riferimento ...

Volevo chiedere una cosa riguardo le matrici inverse. Ho visto una dimostrazione per cui una matrice A se ha inversa sinistra ha inversa destra (però la dimostrazione sfrutta il fatto che il rango sia massimo). Mi chiedevo quindi, se il rango non fosse massimo non è più vero che la matrice inversa sinistra implica che abbiamo inversa destra? Oppure esiste una generalizzazione di questo anche per matrici che non abbiano rango massimo?

Buongiorno! Ho trovato questo esercizio di esame che inizialmente avrei definito "semplice", ma che non riesco a capire del tutto. Sia $V$ spazio vettoriale reale di dimensione 4 e sia ${b_1, b_2, b_3, b_4}$ una sua base. Siano $u := b_1 − b_2 + b_3 − b_4$ , $v := b_1 + b_2$ e $U := Span{u, v}$. Esiste un’applicazione lineare $L : R^3 → V$ tale che $Im(L) = U$? Per dimostrare l'esistenza dell'applicazione ho inizialmente provato a ragionare utilizzando la matrice associata, avendo ...

Come posso trovare un esempio di applicazione lineare conoscendo il kernel o l’immagine? Ad esempio ho un esercizio che mi chiede di trovare un esempio di applicazione lineare $f: RR^3 \to RR^2$ suriettiva sapendo che ker(f)=Span((1,1,1)). Come potrei fare? Grazie per l’aiuto.

Salve, vago cercando una risposta a una domanda sorta leggendo il mio testo. Un sottospazio vettoriale W viene definito come spazio vettoriale di V se W è spazio vettoriale sul campo medesimo di V e con le medesime operazioni di V. (in pratica devono valere le 8 proprietà sulle due operazioni definenti lo spazio vettoriale) C'è poi un teorema di caratterizzazione che dice se W è sottoinsieme di V e valgono: a) per ogni $v,w in W$ => $v+w in W$ b) per ogni $lambda in K$ e ...

Salve a tutti. Ho un dubbio sul seguente esercizio: \( \dot{\bf{x}}=A\bf{x} \), $A = [[1,1,1],[1,-1,1],[1,1,-1]]$. Devo calcolare $x(t)$ in funzione di $x(0)$ e dire se esistono condizioni iniziali tali che per $t \to \infty$ la soluzione della ODE diverge. Ho seguito il metodo suggerito da Megas nel mio messaggio bumpato recentemente, su un esercizio uguale a questo. Dopo aver diagonalizzato (la matrice è simmetrica a coefficienti reali perciò non ho problemi), trovato gli ...

Notazioni. "Spazio" significa spazio compattamente generato, debolmente Hausdorff. $I=[0,1]$ è il sottospazio di $\mathbb R$ con la solita topologia; per ogni spazio $Y$, denotiamo $Y^I$ lo spazio di tutti i cammini $\gamma : I \to Y$ con la topologia compatta aperta. Denotiamo \(@_\epsilon : Y^I\to Y\) per $\epsilon=0,1$ la funzione continua che valuta un cammino nel suo punto iniziale/finale (più in generale, v. qui). Diciamo che una mappa di ...

Buongiorno, vorrei chiedervi un aiuto riguardo la parabola, so che posso ottenere l'equazione sfruttando questo metodo: click sulla figura per ingrandire meglio. Tuttavia per semplificare i conti ho provato a ottenere l'equazione procedendo così: Assumo l'origine a metà della distanza tra la retta e il fuoco, in tal modo il vertice cade sull'asse x e la parabola è perfettamente simmetrica rsipetto ad y. Assumo: $2k=d(F,r)$ e $F=(k,0)$, la direttrice avra ...

Salve buongiorno, Tra poco dovrò affrontare l'esame di geometria, e temo di non aver capito benissimo questo argomento. Una domanda che mi potrebbe capitare sarà molto simile a questa: 1) data l'applicazione affine θ:R²∃(x,y)->(x-2y+2, 2x-y-1)ER² è indicata sempre con θ la sua estensione proiettiva, quale delle seguenti è[θ]p? A) 2 -4 4 4 -2 -2 B) 2 -4 4 4 -2 -2 0 0 2 C) 1 -2 2 2 -1 -1 D) 2 -4 4 4 -2 2 0 0 2 Potesse per favore aiutarmi a risolverlo e a capire il meccanismo che c'è ...

Salve a tutti. Ho avuto qualche problema con questo esercizio: Data la ODE \( \dot {\bf{x}} = A\bf{x}, \bf{x} \in \mathcal{R}^5, A_{ij} = 1 -3 \delta_{ij} \) calcolare \( \bf{x}(t)\) dato \( \bf{x}(0)\) e determinare la condizione su \( \bf{x}(0)\) tale per cui valga $lim_{t \to \infty} x(t) = 0$ Son partito così, come nello scorso messaggio, notando che la matrice può esser riscritta come segue: $A = 5P_v- 3Id_5$ ove $P_v$ è il proiettore lungo il vettore unitario $v = ((1/\sqrt5),(1/\sqrt5),(1/\sqrt5),(1/\sqrt5),(1/\sqrt5),(1/\sqrt5))$. Adesso ...

Buonasera, sto studiando algebra lineare e mi sono incastrato su un dubbio riguardante le forme bilineari simmetriche indefinite. Ho letto e studiato il metodo per definire il segno delle matrici associate tramite autovalori: - semidefinita positiva se e solo se i suoi autovalori sono non negativi - semidefinita positiva ma non definita positiva se e solo se ha autovalori non negativi - definita positiva se e solo se ha autovalori tutti positivi (simmetrico il caso negativo) - indefinita se ha ...

Ho questo dubbio: quando retraggo per deformazione su un quoziente, l'importate è che se retraggo un punto $P1$ su un punto $P2$ ad esempio devo assicurarmi che ogni altro punto equivalente (secondo la relazione sul quoziente) a $P1$ sia retratto su un punto equivalente a $P2$ giusto? (stessa cosa per equivalenze omotopiche)?

Salve a tutti, avrei un problema a risolvere due esercizi presi dalle mie dispense di metodi e modelli. Sia ${e_1, ..., e_n}$ base ortonormale di $\CC^n$. Sia $U = [e_1 ... e_n]$ una matrice. Mostrare che \( \begin{align} U^{-1} &= \begin{bmatrix} e_{1}^{\ast}\\ e_{2}^{\ast} \\ \vdots \\ e_{n}^{\ast} \end{bmatrix} \end{align} \) e mostrare che data una base qualunque ${e_1, ..., e_n}$ allora se $U$ è definita come ...

Sia $M^2(CC)$ l’insieme delle matrici $2xx2$ a coefficienti complessi, con la topologia data dalla topologia euclidea tramite la funzione $M^2(CC)->CC^4$ che ad una matrice associa i suoi coefficienti. Determinare se il sottoinsieme delle matrici diagonalizzabili sia denso. Allora siccome siamo a coefficienti complessi o una matrice è diagonalizzabile oppure è jordanizzabile. Sia $A$ una matrice jordanizzabile allora esiste $J=((a,1),(0,a))$ e ...

Sia $XsubeRR^22$ il luogo dato dalle soluzioni delle seguenti disequazioni: $-1<=xy<=1,-5<=x<=5$, munito della topologia euclidea. Sia $∼$ la relazione di equivalenza definita da: $(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1 = x_2, y_1 ≥ 7$ e $y_2 ≥ 7$, $(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1 = x_2, y_1<= -7$ e $y_2 <= -7$, $(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $y_1 = y_2, x_1 = ±5$ e $x_2 = ±5$ e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività. Sia $Y = X// ∼$ munito della ...

Nel mentre che facevo esercizi di topologia mi è venuto in mente che poteva essere utile usare il seguente fatto (probabilmente noto a molti, molto intuitivo però non sapevo se fosse matematicamente vero e quindi ho provato a dimostrarlo): Sia $f:X->Y$ un omeomorfismo, definiamo su $X$ una relazione di equivalenza $∼_1$ e su $Y$ una relazione di equivalenza $∼_2$ tali che $x_1∼_1x_2$ (in $X$) se e solo se ...

Dato il sistema lineare di $ n = (2L+1)^2 $ equazioni, dove l'equazione $pq$ (con $p,q = -L,...,L$) è: $\sum_{m = -L}^{L}\sum_{n = -L}^{L}f_{mn}\int\int_Uv_{pq}(u)v_{mn}(u)du = \int\int_UF_d(u)v_{pq}(u)du<br /> $ con $u=(u_1, u_2)\inRR^2$ e $v_{mn}(u) = \mbox{sinc}\left(\frac{\omega_1u_1}{\pi}-m, \frac{\omega_2u_2}{\pi} -n\right) $. Definiamo poi il tensore $ \mathbf{S} $ a quattro dimensioni (spero sia giusto il lessico matematico) di elementi $ S_{mnpq} = \int\int_Uv_{pq}(u)v_{mn}(u)du $ e la matrice $ \mathbf{s} $ di elementi $ s_{pq} = \int\int_UF_d(u)v_{pq}(u)du $. Per risolvere il sistema di variabili $ f_{mn} $ pensavo di rendere la matrice di elementi $ f_{mn} $ un ...

Sia $C= {(x, y, z)inRR^3 | max{|x|, |y|, |z|} ≤ 1}$, munito della topologia indotta dalla topologia euclidea. Sia $∼$ la relazione di equivalenza su $C$ data da: $(x_1, y_1, z_1) ∼ (x_2, y_2, z_2)$ se $max{|x_1|, |y_1|, |z_1|} = max{|x_2|, |y_2|, |z_2|} = 1$ e dalle relazioni imposte dalla riflessività, simmetria e transitività. Mostrare che il quoziente $C// ∼$ è omeomorfo a $S^3$. Allora abbiamo che $C$ è il cubo pieno e la relazione di equivalenza è tale che se due punti si trovano su una delle sei facce del cubo ...

Ringrazio in anticipo chiunque sia così gentile da darmi una mano. Sto seguendo il mio primo corso di algebra lineare e sto studiando dal libro "Lezioni di Geometria I" di Ferruccio Orecchia. Il libro è molto poco friendly (contiene pochissimi esempi ed in 3 capitoli che per ora ho letto 1 solo esercizio) ed è, in generale, molto sintetico nelle dimostrazioni. Purtroppo, sebbene ci abbia pensato per diverse ore, non riesco a sciogliere un nodo sulla dimostrazione di un lemma di base, cioè ...

Sia (TopT2) la categoria i cui oggetti sono gli spazi topologici T2 e le cui frecce sono le funzioni continue. Si provi che se $f : X-> Y$ è una freccia in (TopT2) tale che $f(X)$ è denso in $Y$ , allora $f$ è un epimorfismo in (TopT2). Affinchè $f$ sia epimorfismo mi basta mostrare che preso $ZinOb((TopT2))$ e $g_1,g_2:Y->Z$ si ha che $g_1(x)=g_2(x)$ $AAx inY\\f(X)$. Ho provato a fare per assurdo lavorando con gli aperti e ...