Dimostrare che il disco aperto è chiuso
Sia \( D_a(r) = \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x- a \right|_p \leq r \} \) e rispettivamente \( D_a^{-} = \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x - a \right|_p < r \} \) il disco chiuso centrato in \(a \) e di raggio \(r\) (e rispettivamente il disco aperto). Dimostra che \( D_a(r) , D_a^{-}(r) \) sono entrambi sottoinsiemi aperti e chiusi di \( \mathbb{C}_p\).
Hint: Dimostra che \( \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x-a \right|_p = r \} \) è aperto.
Allora per dimostrare che il disco chiuso è aperto facilmente si può dimostrare che per ogni \( x \in D_a(r) \) abbiamo che \( D_x^{-}(r) \subseteq D_a(r) \) usando la disuguaglianza ultrametrica, infatti preso \( y \in D_x^{-}(r) \) abbiamo per definizione che \( \left| y-x \right|_p < r \), dunque \( \left| y - a \right|_p = \left| y -x+x-a \right|_p \leq \max \{ \left| y - x \right|_p, \left| x - a \right|_p \} \leq r \), dimostrando che \( y \in D_a(r) \). E quindi concludiamo che \(D_a(r) \) è aperto.
Per dimostrare invece \( D_a^{-}(r) \) è chiuso, è sufficiente dimostrare che \( \mathbb{C}_p \setminus D_a^{-}(r) \) è aperto, ora siccome \( D_a(r) \) è chiuso abbiamo che \( \mathbb{C}_p \setminus D_a(r) \) è aperto, pertanto è sufficiente dimostrare che \( \partial D_a(r):= \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x-a \right|_p = r \} \) è aperto, infatti poi avremmo che \( \mathbb{C}_p \setminus D_a^{-}(r) = \mathbb{C}_p \setminus D_a(r) \cup \partial D_a(r) \), e l'unione di aperti è aperta. Ma non riesco a capire come fa \(\partial D_a(r) \) ad essere un insieme aperto, cioè mi sembra strano ahaha.
Ad ogni modo non riesco nemmeno troppo a capire che giochino fare con la disuguaglianza ultrametrica per dimostrare che per ogni \( x \in \partial D_a(r) \), esiste un disco \( D_x(r') \subseteq \partial D_a(r) \).
Hint: Dimostra che \( \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x-a \right|_p = r \} \) è aperto.
Allora per dimostrare che il disco chiuso è aperto facilmente si può dimostrare che per ogni \( x \in D_a(r) \) abbiamo che \( D_x^{-}(r) \subseteq D_a(r) \) usando la disuguaglianza ultrametrica, infatti preso \( y \in D_x^{-}(r) \) abbiamo per definizione che \( \left| y-x \right|_p < r \), dunque \( \left| y - a \right|_p = \left| y -x+x-a \right|_p \leq \max \{ \left| y - x \right|_p, \left| x - a \right|_p \} \leq r \), dimostrando che \( y \in D_a(r) \). E quindi concludiamo che \(D_a(r) \) è aperto.
Per dimostrare invece \( D_a^{-}(r) \) è chiuso, è sufficiente dimostrare che \( \mathbb{C}_p \setminus D_a^{-}(r) \) è aperto, ora siccome \( D_a(r) \) è chiuso abbiamo che \( \mathbb{C}_p \setminus D_a(r) \) è aperto, pertanto è sufficiente dimostrare che \( \partial D_a(r):= \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x-a \right|_p = r \} \) è aperto, infatti poi avremmo che \( \mathbb{C}_p \setminus D_a^{-}(r) = \mathbb{C}_p \setminus D_a(r) \cup \partial D_a(r) \), e l'unione di aperti è aperta. Ma non riesco a capire come fa \(\partial D_a(r) \) ad essere un insieme aperto, cioè mi sembra strano ahaha.
Ad ogni modo non riesco nemmeno troppo a capire che giochino fare con la disuguaglianza ultrametrica per dimostrare che per ogni \( x \in \partial D_a(r) \), esiste un disco \( D_x(r') \subseteq \partial D_a(r) \).
Risposte
Penso di aver risolto in un altra maniera,
Infatti per dimostrare che la palla aperta è chiusa basta dimostrare che i punti sul bordo appartengono \( D_a^{-}(r)\). Prendiamo quindi un qualunque punto \( y \in \partial D_a^{-}(r) \) e poiché appartiene al bordo allora ogni palla centrata in \(y\) ha intersezione non vuota con \( D_a^{-}(r) \), pertanto sia \(r' \leq r \) e consideriamo \( x \in D_a^{-}(r) \cap D_y^{-}(r') \neq \emptyset \). Abbiamo quindi che
\[ \left| y-a \right| \leq \max \{ \left| y-x \right| , \left| x-a \right| \} < \max \{r',r\}=r \]
pertanto \(y \in D_a^{-}(r) \). Quindi abbiamo che la palla aperta è chiusa.
Però proprio mi sfugge la dimostrazione suggerita nel hint dove mi chiede di dimostrare che \( \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x - a \right| = r \} \) è aperto. Se a qualcuno viene in mente mi farebbe piacere che la condividesse con me
Ps: strange enough, credo proprio che \( D_y^{-}(r') \subseteq D_a^{-}(r) \), infatti avendo intersezione non vuota abbiamo che preso \( z \in D_y^{-}(r') \) qualunque e preso \( x \in D_a^{-}(r) \cap D_y^{-}(r') \neq \emptyset \) abbiamo che
\[ \left| z - a \right| \leq \max \{ \left| z-x \right|, \left| x - a \right| \} \leq \max \{ \left| z-y \right|,\left| y-x \right|, \left| x - a \right| \} < \max \{ r',r',r \} = r \]
da cui \( D_y^{-}(r') \subseteq D_a^{-}(r) \)
Infatti per dimostrare che la palla aperta è chiusa basta dimostrare che i punti sul bordo appartengono \( D_a^{-}(r)\). Prendiamo quindi un qualunque punto \( y \in \partial D_a^{-}(r) \) e poiché appartiene al bordo allora ogni palla centrata in \(y\) ha intersezione non vuota con \( D_a^{-}(r) \), pertanto sia \(r' \leq r \) e consideriamo \( x \in D_a^{-}(r) \cap D_y^{-}(r') \neq \emptyset \). Abbiamo quindi che
\[ \left| y-a \right| \leq \max \{ \left| y-x \right| , \left| x-a \right| \} < \max \{r',r\}=r \]
pertanto \(y \in D_a^{-}(r) \). Quindi abbiamo che la palla aperta è chiusa.
Però proprio mi sfugge la dimostrazione suggerita nel hint dove mi chiede di dimostrare che \( \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x - a \right| = r \} \) è aperto. Se a qualcuno viene in mente mi farebbe piacere che la condividesse con me
Ps: strange enough, credo proprio che \( D_y^{-}(r') \subseteq D_a^{-}(r) \), infatti avendo intersezione non vuota abbiamo che preso \( z \in D_y^{-}(r') \) qualunque e preso \( x \in D_a^{-}(r) \cap D_y^{-}(r') \neq \emptyset \) abbiamo che
\[ \left| z - a \right| \leq \max \{ \left| z-x \right|, \left| x - a \right| \} \leq \max \{ \left| z-y \right|,\left| y-x \right|, \left| x - a \right| \} < \max \{ r',r',r \} = r \]
da cui \( D_y^{-}(r') \subseteq D_a^{-}(r) \)
Ma stai ragionando con una topologia \(p\)-adica?
Sì, dalla topologia indotta dalla norma $p$-adica
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