Dimostrazione soluzione generale sistema lineare
Buongiorno,
vorri cercare di chiarire un dubbio riguardo il teorema di struttra delle soluzioni di un sistema lineare, il quale afferma:
una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O (sistema lineare omogeneo associato).
DIM:
1) data X' soluzione generica di AX=B e X'' soluzione particolare allora si ha che (X'-X'') è soluzione di quello omogeneo, posso quindi chiamare X0:=(X'-X'') da cui X'=X0+X''
Sinceramente dato il testo del teorema qui mi sarei fermato invece dice.
2) Viceversa: sia X1 soluzione particolare di AX=B, e X soluzione generica di AX=O si ha che A(X1+X)=B+0B=B è soluzione del sistema.
Onestamente non capisco il perchè si debba dimostrare il punto 2), il testo del teorema dice solo AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O e questo già lo dimostra 1).
Spero in qualche delucidazione .
vorri cercare di chiarire un dubbio riguardo il teorema di struttra delle soluzioni di un sistema lineare, il quale afferma:
una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O (sistema lineare omogeneo associato).
DIM:
1) data X' soluzione generica di AX=B e X'' soluzione particolare allora si ha che (X'-X'') è soluzione di quello omogeneo, posso quindi chiamare X0:=(X'-X'') da cui X'=X0+X''
Sinceramente dato il testo del teorema qui mi sarei fermato invece dice.
2) Viceversa: sia X1 soluzione particolare di AX=B, e X soluzione generica di AX=O si ha che A(X1+X)=B+0B=B è soluzione del sistema.
Onestamente non capisco il perchè si debba dimostrare il punto 2), il testo del teorema dice solo AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O e questo già lo dimostra 1).
Spero in qualche delucidazione .
Risposte
"panausen":
DIM:
1) data X' soluzione generica di AX=B e X'' soluzione particolare allora si ha che (X'-X'') è soluzione di quello omogeneo, posso quindi chiamare X0:=(X'-X'') da cui X'=X0-X''
Sinceramente dato il testo del teorema qui mi sarei fermato invece dice.
2) Viceversa: sia X1 soluzione particolare di AX=B, e X soluzione generica di AX=O si ha che A(X1+X)=B+0B=B è soluzione del sistema.
Onestamente non capisco il perchè si debba dimostrare il punto 2), il testo del teorema dice solo AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O e questo già lo dimostra 1).
Spero in qualche delucidazione .
Nella prima parte hai mostrato come scrivere le soluzioni di AX=B, nella seconda hai mostrato che tutti i vettori della forma X0-X1 sono soluzione di AX=B. La prima parte non ti assicura che tutti i vettori della forma X0-X'' sono soluzione di AX=B (infatti X0 nella prima parte non è una soluzione generica (ma particolare) di AX=O in quanto è determinato come X0:=(X'-X'')).
Ti ringrazio molto per avermi risposto.
Devo dire però che non riesco a capire comunque, vediamo se riesco a spiegare meglio il punto dove mi incastro.
Il teorema afferma solo che "una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O", non dice di voler dimostrare che tutte e sole le soluzioni del sistema sono di quella forma. In quel caso avrei proceduto con 1) e 2) ovviamente.
Il teorema si limita solo a dire se X' è soluzione generale, allora essa si può scrivere come somma di una soluz. generale del sistema omogeneo + una particolare del sistema non omogeneo.
Io nel punto 1) parto da X' soluzione generica e mostro che X'=X0-X''.
Ora posso accettare la tua obiezione: <>(*)
Tuttavia non capisco perché 2) dovrebbe risolvere questo problema sulla particolarità di X0.
In realtà il punto 2) mi sembra solo dire che se una soluzione ha forma X1+X con X1 particolare e X generica dell'omogeneo allora è soluzione. Ciò va bene, ma non mostra comunque che X0 è generico nel punto 1). Non mi pare risolvere quel problema.
Ripeto, sarei d'accordo se il testo del teorema dicesse tutte e sole, ma lui dice solo che una generica soluzione ha quella forma
PS:in un certo senso asserire:
"una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O".
mi sembra equivalente a dire:"se X' è soluzione allora ha forma X'=X0+X''
e non mi si richiede (stando a quel testo) di dimostrare l'inverso, ossia che: una qualsiasi forma del tipo X0+X'' è soluzione.
Devo dire però che non riesco a capire comunque, vediamo se riesco a spiegare meglio il punto dove mi incastro.
Il teorema afferma solo che "una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O", non dice di voler dimostrare che tutte e sole le soluzioni del sistema sono di quella forma. In quel caso avrei proceduto con 1) e 2) ovviamente.
Il teorema si limita solo a dire se X' è soluzione generale, allora essa si può scrivere come somma di una soluz. generale del sistema omogeneo + una particolare del sistema non omogeneo.
Io nel punto 1) parto da X' soluzione generica e mostro che X'=X0-X''.
Ora posso accettare la tua obiezione: <
Tuttavia non capisco perché 2) dovrebbe risolvere questo problema sulla particolarità di X0.
In realtà il punto 2) mi sembra solo dire che se una soluzione ha forma X1+X con X1 particolare e X generica dell'omogeneo allora è soluzione. Ciò va bene, ma non mostra comunque che X0 è generico nel punto 1). Non mi pare risolvere quel problema.
Ripeto, sarei d'accordo se il testo del teorema dicesse tutte e sole, ma lui dice solo che una generica soluzione ha quella forma
PS:in un certo senso asserire:
"una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O".
mi sembra equivalente a dire:"se X' è soluzione allora ha forma X'=X0+X''
e non mi si richiede (stando a quel testo) di dimostrare l'inverso, ossia che: una qualsiasi forma del tipo X0+X'' è soluzione.
"panausen":
Ora posso accettare la tua obiezione: <>(*)
Tuttavia non capisco perché 2) dovrebbe risolvere questo problema sulla particolarità di X0.
Nella seconda parte mostri effettivamente che se prendi X0 a caso hai che X0+X1 è soluzione. Ma se nella prima parte hai dimostrato che ogni soluzione si scrive come X0+X'' con X0 particolare e nella seconda parte dimostri che X0-X1 è soluzione qualunque sia X0 unendo le due cose allora una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O. E' una relazione insiemistica, considera X1 una soluzione particolare del sistema AX=B e poni $C={$insieme costituito dalla somma di X1 con una generica soluzione di AX=O$}$ e $D={$l'insieme delle soluzioni generiche di AX=B$}$. Con la prima parte tu dimostri che tutti gli elementi di $D$ stanno in $C$, questo però non ti dice che $D=C$, se però dimostri che ogni elemento di $D$ sta in $C$ allora hai $D=C$. Se leggi bene in questo contesto la frase: "una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O" corrisponde a mostrare che $D=C$. Spero che ora ti sia più chiaro.
Grazie.
Messa così mi è molto più chiara, non so perché ma il solo testo come dicevo mi pareva di leggerlo come:
""
"una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O".
mi sembra equivalente a dire:"se X' è soluzione allora ha forma X'=X0+X''
""
e non riuscivo a vedere una "doppia inclusione" diciamo così. Vista in modo insiemistico lo vedo molto bene, visto nei termini del solo enunciato mi confondo.
Messa così mi è molto più chiara, non so perché ma il solo testo come dicevo mi pareva di leggerlo come:
""
"una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O".
mi sembra equivalente a dire:"se X' è soluzione allora ha forma X'=X0+X''
""
e non riuscivo a vedere una "doppia inclusione" diciamo così. Vista in modo insiemistico lo vedo molto bene, visto nei termini del solo enunciato mi confondo.
"panausen":
Grazie.
Messa così mi è molto più chiara, non so perché ma il solo testo come dicevo mi pareva di leggerlo come:
""
"una generica soluzione di un sistema lineare compatibile AX=B si ottiene aggiungendo una soluzione particolare del sistema AX=B a una generica soluzione di AX=O".
mi sembra equivalente a dire:"se X' è soluzione allora ha forma X'=X0+X''
""
e non riuscivo a vedere una "doppia inclusione" diciamo così. Vista in modo insiemistico lo vedo molto bene, visto nei termini del solo enunciato mi confondo.
Non ti preoccupare, è piu che lecito avere questi dubbi. Il fatto è che ti dice che ogni soluzione generica (ovvero prendo una qualunque soluzione e quindi è come se le prendessi "tutte" dato che non dai dei criteri per prenderla) si deve scrivere come la somma di una particolare e una generica dell'omogenea ( e anche qua siccome non dai criteri ne prendi una qualunque tra quelle dell'omogenea , ovvero "tutte" dato che è indifferente prenderne una o l'altra) e quindi devi effettivamente mostrare che quel "è indifferente prenderne una o l'altra" valga effettivamente sennò non è vero che ne prendi una generica ma una partciolare.
Per semplificarla meglio se X0 soluzione qualunque dell'omogeneo e X1 soluzione paricolare del non omogeneo quello che scritto nel teorema è che X0+X1 è soluzione di del non omogeneo.
Mi sono riservato un poco di tempo per ragionarci su ancora un attimo prima di rispondere "a vanvera". Mi pare ora tornarmi, vediamo se riesco a ri-enunciare quello che hai cercato di trasmettermi:
A)
Nomenclatura,
Definendo: X' la generica del sistema lineare, X'' la particolare e X0 la soluzione del sistema omogeneo associato.
Questione:
Con la prima parte della dimostrazione mostro che posso scrivere qulunque soluzione X' così: X'=X0+X''. Di fatto X0 non è "a libera scelta" poiché qui (in questa parte 1 della DIM) ne scelgo una particolare di X0 e nessuno mi dice che tutti gli X0 vadano bene per questa riscrittura di X'. Io però affermo che vale per ogni X0 nel testo del thm.
Per risolvere questo problema ci viene in soccorso la seconda parte della DIM: essa dimostra che, preso (ogni) X0 generico e X'' allora ho una soluzione di AX=B sommando (il generico X0 con X''), e sono a cavallo infatti affermo che ogni X0 mi dà una soluzione scrivendo (X0+X''), ma dalla prima parte del teorema so che essendo X0+X'' una soluzione posso ora scegliere un qualunque X0.
EDIT:
B)
visto in termini insiemistici definisco: C={insieme costituito dalla somma di X1 con una generica soluzione di AX=O} e D={l'insieme delle soluzioni generiche di AX=B}
1) dimostra che $X' in D$ siccome dimostro che X'=X0+X'' => $X'=X0+X'' in C$
2) se io ho $(X0+X) in C$ qui dimostro che X0+X è soluzione => $(X0+X) in D$
Da cui C=D
Volevo chiederti se fosse corretto quanto ho compreso nei due modi A) and B)? Ti ringrazio e saluto.
A)
Nomenclatura,
Definendo: X' la generica del sistema lineare, X'' la particolare e X0 la soluzione del sistema omogeneo associato.
Questione:
Con la prima parte della dimostrazione mostro che posso scrivere qulunque soluzione X' così: X'=X0+X''. Di fatto X0 non è "a libera scelta" poiché qui (in questa parte 1 della DIM) ne scelgo una particolare di X0 e nessuno mi dice che tutti gli X0 vadano bene per questa riscrittura di X'. Io però affermo che vale per ogni X0 nel testo del thm.
Per risolvere questo problema ci viene in soccorso la seconda parte della DIM: essa dimostra che, preso (ogni) X0 generico e X'' allora ho una soluzione di AX=B sommando (il generico X0 con X''), e sono a cavallo infatti affermo che ogni X0 mi dà una soluzione scrivendo (X0+X''), ma dalla prima parte del teorema so che essendo X0+X'' una soluzione posso ora scegliere un qualunque X0.
EDIT:
B)
visto in termini insiemistici definisco: C={insieme costituito dalla somma di X1 con una generica soluzione di AX=O} e D={l'insieme delle soluzioni generiche di AX=B}
1) dimostra che $X' in D$ siccome dimostro che X'=X0+X'' => $X'=X0+X'' in C$
2) se io ho $(X0+X) in C$ qui dimostro che X0+X è soluzione => $(X0+X) in D$
Da cui C=D
Volevo chiederti se fosse corretto quanto ho compreso nei due modi A) and B)? Ti ringrazio e saluto.
"panausen":
Mi sono riservato un poco di tempo per ragionarci su ancora un attimo prima di rispondere "a vanvera". Mi pare ora tornarmi, vediamo se riesco a ri-enunciare quello che hai cercato di trasmettermi:
A)
Nomenclatura,
Definendo: X' la generica del sistema lineare, X'' la particolare e X0 la soluzione del sistema omogeneo associato.
Con la prima parte della dimostrazione mostro che posso scrivere qulunque soluzione X' così: X'=X0+X''. Di fatto X0 non è "a libera scelta" poiché qui (in questa parte 1 della DIM) ne scelgo una particolare di X0 e nessuno mi dice che tutti gli X0 vadano bene per questa riscrittura di X'. Io però affermo che vale per ogni X0 nel testo del thm.
Per risolvere questo problema ci viene in soccorso la seconda parte della DIM: essa dimostra che, preso (ogni) X0 generico e X'' allora ho una soluzione di AX=B sommando (il generico X0 con X''), e sono a cavallo infatti affermo che ogni X0 mi dà una soluzione scrivendo (X0+X''), ma dalla prima parte del teorema so che essendo X0+X'' una soluzione posso ora scegliere un qualunque X0.
EDIT:
B)
visto in termini insiemistici definisco: C={insieme costituito dalla somma di X1 con una generica soluzione di AX=O} e D={l'insieme delle soluzioni generiche di AX=B}
1) dimostra che $X' in D$ siccome dimostro che X'=X0+X'' => $X'=X0+X'' in C$
2) se io ho $(X0+X) in C$ qui dimostro che X0+X è soluzione => $(X0+X) in D$
Da cui C=D
Volevo chiederti se fosse corretto quanto ho compreso nei due modi A) and B)? Ti ringrazio e saluto.
Si si va benissimo.
Grazie mille per il PM 
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