Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, volevo chiedervi un aiuto con un esercizio di topologia su cui sto riscontrando varie difficolta:
Si munisca l'insieme $RR$ della topologia $A$ i cui aperti sono ${$ $\emptyset$, $RR$, $Y$ $sube$$[0,5]$ $}$, cioè ogni sottoinsieme proprio e improprio di $[0,5]$.
Si studino le proprietà topologiche di $($ $RR$, ...
Ciao ragazzi ho un dubbio su questo esercizio, praticamente dice che siamo "in \(\mathbb{R}^3\) e si considerino i due piani
\(\pi_1: X_1 + X_2 + 3X_3 = 4\) and \(\pi_2: X_1 + 2X_2 + 4X_3 = 5\)
Determinare le equazioni della retta di intersezione tra i due piani."
La mia procedura è questa qui sotto, il problema che la soluzione è sbagliata, mi potreste aiutare, dove ho sbagliato?.
\[
(X_1 + 2X_2 + 4X_3) - (X_1 + X_2 + 3X_3) = 5 - 4
\]
Dopo:
\[
X_2 + X_3 = 1 \implies X_2 = 1 - ...
Si vuol dimostrare che gli autovalori delle matrice simmetriche sono reali.
Innanzitutto, ricordo che una matrice simmetrica è una matrice che è uguale alla sua trasposta, cioè A = A^T.
Quindi, parto dalla definizione di autovalore e autovettore. Se A è una matrice simmetrica, allora per ogni autovettore x corrispondente all'autovalore λ, abbiamo che A x = λ x.
Ora, voglio mostrare che λ è reale. Per farlo, posso considerare il prodotto scalare di entrambi i lati dell'equazione A x = λ x con ...
Buongiorno a tutti. Come risolvo questo esercizio?
Si consideri l'applicazione lineare f:M(3,R) -> M(3,R) tale che
f(1,1,0) = (3,0,-1)
f(1,0,1) = (1,1,-2)
f(0,1,1) = (0,1,0)
Allora la matrice A appartenente a M(3,3,R) associata alla base canonica tale che f = fA è...?
Non riesco a capire i calcoli dettagliati che bisogna fare poiché le dispense dei professori danno tutto per scontato e non spiegano nulla o spiegano non in modo chiaro. Tenete conto che sono alle prime armi, quindi, ...
Scrivo per un dubbio riguardo al seguente esercizio:
In R3(R) con prodotto scalare euclideo, considerato il sistema:
$\{(2x−z=−2), (x+ ky+ 3z= k+ 1), (3x+ ky+ 2z=−1):}$
e posto k= 0, si determini una base per la chiusura lineare dell’insieme S delle soluzioni del sistema.
Risolvendo il sistema lineare per k=0, risulta X=-5/7,
y= a (parametro) e z=4/7, dunque una base di L(S) sarebbe ((0,1,0),(5,0,-4))
Tuttavia per k=0, p(A)=2, quindi non dovrebbe risultare dim L(S) = n-p(A) = 1 e quindi un solo vettore nella chiusura ...
Buon pomeriggio avrei un dubbio sui spazi affini, praticamente mi si chiede di elencare e dimostrare le proprietà dei sottospazi affini.
In primo luogo parlo di cos'è uno spazio affine le sue proprietà e cosa lo differisce da quello vettoriale, dopodiché parlo del suo relativo sottospazio con le sue proprietà:
1) chiuso rispetto alla somma;
2) non necessariamente contenere il vettore nullo.
Adesso la mia domanda basta tutto questo oppure devo elencare/dimostrare altro ?
Ciao a tutti/e
Premetto che non so quasi nulla di matematica, sono una sarta e devo disegnare un modello di gonna a ruota, in pratica un cerchio con un buco in mezzo. Dentro al cerchio devo disegnare 1 o più spirali logaritmiche. So che si può usare un Graphic Functions Calculator, ma bisogna scrivere le funzioni, e io non so come farlo! Qualcuno può aiutarmi?
Buongiorno,
retta r: 2y−4=z e x-2=z
piano α: 2 x + 2 y + z = 0
Trovata intersezione punto Q agilmente in (0,1-2).
Trasformo r in forma parametrica con z=t ed ottengo vettore direzione v(1;1/2;1)
n (α) =(2,2,1) Vettore normale al piano alfa.
Come faccio a trovare il pianoβ contenente retta r ed ortogonale a piano α?
Buongiorno, scusate ho un dubbio per questa parte di teoria:
"Quanti iperpiani in uno spazio vettoriale di dimensione n bisogna intersecare per ottenere un sottospazio di dimensione K
Buonasera,
Dati due paraboloidi circolari (in fig. grigi) generati dalla rotazione di due parabole (in fig. blu) posti con:
- i loro assi paralleli (in fig. verticali e verdi),
- i loro vertici (e i loro fuochi) posti alla stessa quota [in fig. estremi del segmento orizzontale arancione (e magenta)]
So che la loro intersezione (in fig. rossa)
è:
- una curva piana,
- posta su un piano (in fig. rosso) parallelo ai due assi
- posta su un piano perpendicolare al piano (in fig. ...
Ciao ragazzi potreste aiutarmi ad impostare questo esercizio di geometria?.
Data l'applicazione L:M_2(R) -> R_3[t] -> (a-c)+(a+b)t+(b-a)t^2+(b-c)t^3. Determinare le dimensioni del nucleo e dell' immagine di L. Dire se La è iniettiva o suriettiva o biettiva
Sia C denota il campo dei numeri complessi e V = M_2(C) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2. Si consideri l'applicazione lineare F:V->V,A->A - A^t. Determinare una base di N(F) e una base di Im(F). Verificare che V = N(F)⊕Im(F).
Scusate ragazzi potete dirmi come faccio a trovare il nucleo e la sua immagine, cioè come dovrebbe uscire?
Ciao a tutti. Scrivo qui un esercizio sull'intersezione di due sottospazi che ho svolto.
[highlight]Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di $\mathbb{R}^4$:
\begin{gather*}
U = \text{Span} \left(
u_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \
u_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}, \
u_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}\right) , \\[1.5ex]
V = \text{Span} \left(
v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, ...
Buonasera, mi domando quale relazione ci sia tra le topologie e le nozioni di convergenza (per nets, eventualmente). So che non tutte le nozioni di convergenza inducono una topologia, serve verificare alcune proprietà, tipo che il net costante converge alla costante, e cose così. Mi domando
Tutte le topologie sono ottenibili così? Da una nozione di convergenza?
In realtà credo di no, perché so che la topologia indotta da $||\cdot ||_1$ e la topologia debole su $l^1$ (lo spazio ...
Buonasera amici, ho il seguente dubbio che mi sta dando
Sia $X \subseteq \mathbb{R}^n$ limitato. Siano $I$ intervallo superiormente semiaperto di $\mathbb{R}^n$ che lo contiene, cioè $X\subseteq I$, sia ora $P$ il plurintervallo superiormente contenente $\partial X$. Allora $I\setminusP$ è non vuoto.
Provo cosi: Se per assurdo il complementare di $P$ rispetto ad $I$ fosse vuoto, allora $I \subseteq P$, quindi dalla ...
Buonasera,
durante una lezione di Algebra Lineare (ingegneria), il nostro prof. ci ha dato: due teoremi riguardo autovalori, autovettori e autospazi ed uno inerente ai polinomi.
Primo teo.: Sia $p(\lambda)$ monico e siano $\lambda_1 , ... , \lambda_k $ le radici reali o complesse di $p$. Allora
\[
p(\lambda ) = (\lambda - \lambda_1 )^{d_1}(\lambda - \lambda_2 )^{d_2} \dots (\lambda - \lambda_k)^{d_k}
\] dove $d_1, d_2, ... , d_k $ sono opportuni numeri interi, detti molteplicità delle radici ...
Come è possibile sapere quanti minori di un certo ordine sono presenti nella matrice incompleta (o completa) associata ad un sistema lineare?
Buongiorno a tutti e buone feste!
Potreste spiegarmi facilmente e dettagliatamente come si orla una matrice in algebra lineare?
Questo è il mio ragionamento: davanti a una matrice, ricerco il primo elemento nella prima riga non nullo (quindi diverso da zero), poi però mi perdo e vado in confusione perché le lezioni dei professori di un'università telematica non sono molto spesso esaudienti e non chiariscono appieno il concetto, dando per scontato qualsiasi cosa. Ho compreso comunque come ...
Buongiorno a tutti: come devo impostare il ragionamento per questo tipo di domanda?
Si consideri l’R-spazio vettoriale R^3 ed il sistema S = [(1; 2; 3)]. Allora si ha che il vettore (2,4,5) è linearmente dipendente dal sistema S.
Perchè? Potreste dettagliatamente spiegarmi il ragionamento?
Grazie
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