Caratterizzazione di un insieme.
Buonasera amici, ho il seguente dubbio che mi sta dando 
Sia $X \subseteq \mathbb{R}^n$ limitato. Siano $I$ intervallo superiormente semiaperto di $\mathbb{R}^n$ che lo contiene, cioè $X\subseteq I$, sia ora $P$ il plurintervallo superiormente contenente $\partial X$. Allora $I\setminusP$ è non vuoto.
Provo cosi: Se per assurdo il complementare di $P$ rispetto ad $I$ fosse vuoto, allora $I \subseteq P$, quindi dalla transitività dell'inclusione si ha che $X\subseteq P$. Per una delle caratterizzazione dell'insieme frontiera cioè $\partial X=\bar{X}\setminus X^\circ$, quindi, si possono avere due casi, uno di questi è che $X\subseteq X\cupX'\setminus X^\circ$ assurdo perché $X^circ \subseteq X $, invece l'altro $X\cupX'\setminus X^\circ \subseteq X$, allora si hanno due possibilità $y \in X \ \text{e} \ y \notin X^\circ$, oppure $y \in X' \ \text{e} \ y \notin X^\circ$, quindi in entrambi i casi da $y \notin X^\circ$ segue che $\forall r>0$, \(\displaystyle I(y,r) \nsubseteq X \), cioè $I(y,r) \cap CX \ne \emptyset$, quindi $ X\cupX'\setminus X^\circ \subseteq X $ è assurdo. Quindi, non è vero che $I\setminusP=\emptyset$
Vi chiedo se questo è corretto, inoltre, se ci sia un altra strada meno macchinosa.
Ciao.
Sia $X \subseteq \mathbb{R}^n$ limitato. Siano $I$ intervallo superiormente semiaperto di $\mathbb{R}^n$ che lo contiene, cioè $X\subseteq I$, sia ora $P$ il plurintervallo superiormente contenente $\partial X$. Allora $I\setminusP$ è non vuoto.
Provo cosi: Se per assurdo il complementare di $P$ rispetto ad $I$ fosse vuoto, allora $I \subseteq P$, quindi dalla transitività dell'inclusione si ha che $X\subseteq P$. Per una delle caratterizzazione dell'insieme frontiera cioè $\partial X=\bar{X}\setminus X^\circ$, quindi, si possono avere due casi, uno di questi è che $X\subseteq X\cupX'\setminus X^\circ$ assurdo perché $X^circ \subseteq X $, invece l'altro $X\cupX'\setminus X^\circ \subseteq X$, allora si hanno due possibilità $y \in X \ \text{e} \ y \notin X^\circ$, oppure $y \in X' \ \text{e} \ y \notin X^\circ$, quindi in entrambi i casi da $y \notin X^\circ$ segue che $\forall r>0$, \(\displaystyle I(y,r) \nsubseteq X \), cioè $I(y,r) \cap CX \ne \emptyset$, quindi $ X\cupX'\setminus X^\circ \subseteq X $ è assurdo. Quindi, non è vero che $I\setminusP=\emptyset$
Vi chiedo se questo è corretto, inoltre, se ci sia un altra strada meno macchinosa.
Ciao.
Risposte
Cosa sono un intervallo e un pluri-intervallo di \(\mathbb{R}^n\)?
Ciao un intervallo superiormente semiaperto in $\mathbb{R}^n$ è il prodotto di $n$ intervalli $[a_i ,b_i)$ dove $a_i\leb_i$ con $i=1,…,n$. Il plurintervallo è l’unione finita di un intervallo superiormente semiaperto.
Buongiorno, forse l'affermazione da me fatta è falsa.
Per dimostrarlo procedo sempre per assurdo: Se $I\setminus P=\emptyset$, e sapendo per ipotesi che $\partial X\subseteq P$ si possono presentare due casi
i) $\partial X \supseteq I$, quindi $X^\circ \subseteq X\cup X' \setminus X^\circ$ quindi assurdo.
ii) $\partial X \subseteq I$, quindi si possono presentare due ulteriori sotto casi
ii_a) $X \subseteq \partial X$, quindi $X^\circ \subseteq X\cup X' \setminus X^\circ$ quindi assurdo.
ii_b) $\partial X \subseteq X$ ma questo è equivalente al fatto che $X$ sia chiuso, dunque a meno ché $X$ non sia chiuso non si arriva a nessuna contraddizione. Quindi, in generale non si può dire nulla su $ I\setminus P$ se sia o meno vuoto. E' corretto ?
Per dimostrarlo procedo sempre per assurdo: Se $I\setminus P=\emptyset$, e sapendo per ipotesi che $\partial X\subseteq P$ si possono presentare due casi
i) $\partial X \supseteq I$, quindi $X^\circ \subseteq X\cup X' \setminus X^\circ$ quindi assurdo.
ii) $\partial X \subseteq I$, quindi si possono presentare due ulteriori sotto casi
ii_a) $X \subseteq \partial X$, quindi $X^\circ \subseteq X\cup X' \setminus X^\circ$ quindi assurdo.
ii_b) $\partial X \subseteq X$ ma questo è equivalente al fatto che $X$ sia chiuso, dunque a meno ché $X$ non sia chiuso non si arriva a nessuna contraddizione. Quindi, in generale non si può dire nulla su $ I\setminus P$ se sia o meno vuoto. E' corretto ?
Ciao,
Non ho capito cos'è un plurintervallo. Facciamo il caso di $RR^2$ così ci capiamo. Un esempio di intervallo superiormente semiaperto è $[0,1) xx [-1,4)$. Mi fai un esempio di plurintervallo?
Poi cosa vuol dire "sia $P$ il plurintervallo superiormente contenente $partial X$"? Cosa vuol dire "superiormente contenente"?
Intendi dire "sia $P$ il plurintervallo superiormente semiaperto contenente $partial X$"? Ma allora perché dici "il" plurintervallo e non "un"? C'è un unico plurintervallo superiormente semiaperto contenente $partial X$?
Cos'è un plurintervallo? Tu dici
Anche qui, non si capisce perché dici "Il" plurintervallo. Poi "l'unione finita di un intervallo" non ha senso, cosa vuol dire fare l'unione finita di un intervallo?
Mi sembri sottovalutare il fatto che, se non ti esprimi in modo chiaro e inequivocabile, non si riesce a capire cosa stai dicendo.
Poi riguardo il tuo ultimo messaggio, una non-dimostrazione di un fatto X non dimostra che X è falso. Per dimostrare che X è falso devi produrre un controesempio. Per esempio "tutti i numeri sono pari" è falso perché "3 è un numero non pari", non perché ho provato a mostrare che tutti i numeri sono pari e non ci sono riuscito
Non ho capito cos'è un plurintervallo. Facciamo il caso di $RR^2$ così ci capiamo. Un esempio di intervallo superiormente semiaperto è $[0,1) xx [-1,4)$. Mi fai un esempio di plurintervallo?
Poi cosa vuol dire "sia $P$ il plurintervallo superiormente contenente $partial X$"? Cosa vuol dire "superiormente contenente"?
Intendi dire "sia $P$ il plurintervallo superiormente semiaperto contenente $partial X$"? Ma allora perché dici "il" plurintervallo e non "un"? C'è un unico plurintervallo superiormente semiaperto contenente $partial X$?
Cos'è un plurintervallo? Tu dici
Il plurintervallo è l’unione finita di un intervallo superiormente semiaperto.
Anche qui, non si capisce perché dici "Il" plurintervallo. Poi "l'unione finita di un intervallo" non ha senso, cosa vuol dire fare l'unione finita di un intervallo?
Mi sembri sottovalutare il fatto che, se non ti esprimi in modo chiaro e inequivocabile, non si riesce a capire cosa stai dicendo.
Poi riguardo il tuo ultimo messaggio, una non-dimostrazione di un fatto X non dimostra che X è falso. Per dimostrare che X è falso devi produrre un controesempio. Per esempio "tutti i numeri sono pari" è falso perché "3 è un numero non pari", non perché ho provato a mostrare che tutti i numeri sono pari e non ci sono riuscito
Buongiorno.
Definizione: Si definisce intervallo superiormente semiaperto $I$ di $RR^n$ come
Definizione: Si definisce pluri-intervallo superiormente semiaperto $P$ di $RR^n$ come
Quindi @Martino non esiste un solo ed unico intervallo superiormente semiaperto ma ne esistono infiniti, come non esiste un solo ed unico pluri-intervallo.
Esempio
$ I= [0,1) xx [-1,4) $ questo che tu scrivi è un intervallo superiormente semiaperto.
$P=I\cup J$ con $J=[0.5,2) \times [-1,4)$, dunque $P=\{x \in RR^2 \ : 0\le x_1\le 2, \ -1 \le x_2\le 4 \}$, con $k=2$.
Per provare che $I\setminus X\ ne \emptyset$ mostro esiste un elemento $ y \in RR^n$ che soddisfa alla proprieta' $y \in I$ e $y \notin P$, cioè devo far vedere che esiste un elemento $y in RR^n$ tale che $y \in I$ e che $ y \in X^circ$ o $ y \in C X^circ$.
Dunque, se $y \in I$ allora $y in X$ oppure $y \in CX$, quindi, se $y \in X$ può risultare che è interno ad $X$ oppure che è interno ad $CX$, simile per $ y \in CX$.
Definizione: Si definisce intervallo superiormente semiaperto $I$ di $RR^n$ come
$I:=[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times...\times[a_n,b_n)$
dove $a_i,b_i \in RR$ e $a_i \le b_i$ per ogni $i=1,2,...,n$.Definizione: Si definisce pluri-intervallo superiormente semiaperto $P$ di $RR^n$ come
$P=I_1\cup I_2 \cup ... \cup I_k$
dove $I_j$ con $j=1,2,...,k$, dove $k \in NN $ è un intervallo superiormente semiaperto di $RR^n$Quindi @Martino non esiste un solo ed unico intervallo superiormente semiaperto ma ne esistono infiniti, come non esiste un solo ed unico pluri-intervallo.
Esempio
$ I= [0,1) xx [-1,4) $ questo che tu scrivi è un intervallo superiormente semiaperto.
$P=I\cup J$ con $J=[0.5,2) \times [-1,4)$, dunque $P=\{x \in RR^2 \ : 0\le x_1\le 2, \ -1 \le x_2\le 4 \}$, con $k=2$.
Per provare che $I\setminus X\ ne \emptyset$ mostro esiste un elemento $ y \in RR^n$ che soddisfa alla proprieta' $y \in I$ e $y \notin P$, cioè devo far vedere che esiste un elemento $y in RR^n$ tale che $y \in I$ e che $ y \in X^circ$ o $ y \in C X^circ$.
Dunque, se $y \in I$ allora $y in X$ oppure $y \in CX$, quindi, se $y \in X$ può risultare che è interno ad $X$ oppure che è interno ad $CX$, simile per $ y \in CX$.
Ma allora, se è come hai scritto, e se per "il" intendi "un", e se per "superiormente contenente" intendi "superiormente semiaperto contenente" allora quanto scritto qui
è banalmente falso, basta scegliere $P=I$.
Cioè, certamente se $I$ è un i.s.s. (intervallo superiormente semiaperto) contenente $X$, allora è anche un p.s.s (plurintervallo superiormente semiaperto) per ovvi motivi, e contiene $partial X$ perché contiene addirittura tutto $X$. Quindi possiamo scegliere $P=I$. Con questa scelta, [tex]I \setminus P[/tex] è vuoto.
Ho l'impressione che quanto hai scritto venga da un contesto più grande, probabilmente lo hai estrapolato da un testo più articolato, e se vuoi una risposta ai tuoi dubbi dovresti riportare tutto il testo che stai leggendo integralmente, non solo una parte.
"compa90":
Sia $X \subseteq \mathbb{R}^n$ limitato. Siano $I$ intervallo superiormente semiaperto di $\mathbb{R}^n$ che lo contiene, cioè $X\subseteq I$, sia ora $P$ il plurintervallo superiormente contenente $\partial X$. Allora $I\setminusP$ è non vuoto.
è banalmente falso, basta scegliere $P=I$.
Cioè, certamente se $I$ è un i.s.s. (intervallo superiormente semiaperto) contenente $X$, allora è anche un p.s.s (plurintervallo superiormente semiaperto) per ovvi motivi, e contiene $partial X$ perché contiene addirittura tutto $X$. Quindi possiamo scegliere $P=I$. Con questa scelta, [tex]I \setminus P[/tex] è vuoto.
Ho l'impressione che quanto hai scritto venga da un contesto più grande, probabilmente lo hai estrapolato da un testo più articolato, e se vuoi una risposta ai tuoi dubbi dovresti riportare tutto il testo che stai leggendo integralmente, non solo una parte.
Si è vero, l'ho estrapolato dalla dimostrazione che riguarda la misura della frontiera di $X \subseteq RR^n$ .
In pratica, vi è una parte della dimostrazione in cui si considera una partizione dell'insieme $I\setminus P$. Ora per considera una partizione di un insieme $S$, l'unica cosa che si richiede che $S\ne \emptyset$ giusto ?
E' meglio se apro un altro topic al riguardo ?
In pratica, vi è una parte della dimostrazione in cui si considera una partizione dell'insieme $I\setminus P$. Ora per considera una partizione di un insieme $S$, l'unica cosa che si richiede che $S\ne \emptyset$ giusto ?
E' meglio se apro un altro topic al riguardo ?
Se vuoi puoi aprire un nuovo topic, ma nel nuovo topic non puoi scrivere questo:
Nota che "la dimostrazione che riguarda la misura della frontiera di $X subseteq RR^n$" non significa niente. E' come se io dicessi "la dimostrazione che riguarda i numeri primi". Cosa significa?
La dimostrazione di cosa? Non l'hai scritto.
Nel nuovo topic devi inserire tutto il risultato e la dimostrazione fino al punto in cui hai difficoltà, e devi citare il libro o le dispense da cui lo prendi. Altrimenti non riceverai risposte, perché nessuno capirà di cosa parli.
Devi sforzarti di immedesimarti in chi legge. Non dare niente per scontato.
"compa90":perché è indecifrabile, non si capisce di cosa stai parlando.
Si è vero, l'ho estrapolato dalla dimostrazione che riguarda la misura della frontiera di $X \subseteq RR^n$ .
In pratica, vi è una parte della dimostrazione in cui si considera una partizione dell'insieme $I\setminus P$. Ora per considera una partizione di un insieme $S$, l'unica cosa che si richiede che $S\ne \emptyset$ giusto ?
Nota che "la dimostrazione che riguarda la misura della frontiera di $X subseteq RR^n$" non significa niente. E' come se io dicessi "la dimostrazione che riguarda i numeri primi". Cosa significa?
La dimostrazione di cosa? Non l'hai scritto.
Nel nuovo topic devi inserire tutto il risultato e la dimostrazione fino al punto in cui hai difficoltà, e devi citare il libro o le dispense da cui lo prendi. Altrimenti non riceverai risposte, perché nessuno capirà di cosa parli.
Devi sforzarti di immedesimarti in chi legge. Non dare niente per scontato.
Ho scritto che l'esercizio proposto è stato estrapolato da una dimostrazione che caratterizza la frontiera di un $X \subseteq RR^n$ limitato, ulteriori dettagli sono superflui tanto è vero che l'esercizio per come è stato descritto è risolvibile, cioè i dati sono sufficienti a risolverlo.
Saluti.
Saluti.
Risolvibile in che senso? Ti ho mostrato che è banalmente falso.
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