Polinomio monico, molteplicità e autovalori

[pincopallino042]

Buonasera,
durante una lezione di Algebra Lineare (ingegneria), il nostro prof. ci ha dato: due teoremi riguardo autovalori, autovettori e autospazi ed uno inerente ai polinomi.

Primo teo.: Sia $p(\lambda)$ monico e siano $\lambda_1 , ... , \lambda_k $ le radici reali o complesse di $p$. Allora
\[
p(\lambda ) = (\lambda - \lambda_1 )^{d_1}(\lambda - \lambda_2 )^{d_2} \dots (\lambda - \lambda_k)^{d_k}
\] dove $d_1, d_2, ... , d_k $ sono opportuni numeri interi, detti molteplicità delle radici $\lambda_1 , ... , \lambda_k $.

Secondo e terzo teo.
Sia $M$ una matrice $n \times n$ simmetrica. Allora

(1) il polinomio caratteristico $p(\lambda) = \det (M - \lambda I)$ ha solo radici reali ($\lambda_1, ... , \lambda_k$ con molteplicità $d_1, ... , d_k $ rispettivamente e $n = d_1 + ... + d_k$);

(2) detto $V_i$ l'autospazio di $\lambda_i$,
\[
\dim (V_i ) = d_i \text{.}
\]
[/list:u:2mb4apfm]
Riguardo a questi due teoremi, il prof. ha scritto nelle dimostrazioni, and I quote:
"(1) e (2) difficile. Non la dò."

Al momento ho come libri di testo sia "Algebra Lineare" di Abate sia "Algebra Lineare" (prima edizione) di Lang. Non riesco a trovare una risposta ai miei dubbi.

Potete aiutarmi?
Grazie

[j18eos]

Matrice reale simmetrica!

Esempio:\(\displaystyle\begin{pmatrix} 1 & i\\
i & -1\end{pmatrix}\) è simmetrice complessa, ma non è diagonalizzabile!

...e le dimostrazioni non sono elementari!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Se ti interessano le dimostrazioni, la soluzione è iscriversi a Matematica

[pincopallino042]

"j18eos":Matrice reale simmetrica!

Grazie. Il nostro prof. ha dato per scontato il fatto che la matrice sia reale. Comunque la prima dimostrazione l'ho trovata negli appunti del Prof. Gobbino.

"Martino":Se ti interessano le dimostrazioni, la soluzione è iscriversi a Matematica

Certe volte è da mettersi le mani tra i capelli . Come diavolo è possibile che non insegni cos'è un campo (corpo commutativo)?

In questi casi Lang vince.

Meglio abituarsi con le dimostrazioni a ingegneria, entri già nel mindset (paranoia).

[Lebesgue]

"pincopallino04":Come diavolo è possibile che non insegni cos'è un campo (corpo commutativo)?

Per sapere cosa sia un campo, dovresti sapere prima cosa sia un anello, e per sapere cosa sia un anello, dovresti sapere cosa sia un gruppo
A matematica ci sono interi corsi di Algebra (ben diversa da algebra lineare, attenzione) dedicati a questa roba
Quindi insomma, a ingegneria si fa lo stretto necessario minimo indispensabile che vi serve