Studio di una topologia su $RR$
Salve, volevo chiedervi un aiuto con un esercizio di topologia su cui sto riscontrando varie difficolta:
Si munisca l'insieme $RR$ della topologia $A$ i cui aperti sono ${$ $\emptyset$, $RR$, $Y$ $sube$$[0,5]$ $}$, cioè ogni sottoinsieme proprio e improprio di $[0,5]$.
Si studino le proprietà topologiche di $($ $RR$, $A$ $)$. (Connessione, Compattezza, Separabilità, Assiomi di numerabilità, Assiomi di Separazione)
Per ora ho riscontrato che esso è Connesso e che non è compatto, ma ho difficoltà anche a trovare una base.
Se mi aiutaste ve ne sarei grati
Si munisca l'insieme $RR$ della topologia $A$ i cui aperti sono ${$ $\emptyset$, $RR$, $Y$ $sube$$[0,5]$ $}$, cioè ogni sottoinsieme proprio e improprio di $[0,5]$.
Si studino le proprietà topologiche di $($ $RR$, $A$ $)$. (Connessione, Compattezza, Separabilità, Assiomi di numerabilità, Assiomi di Separazione)
Per ora ho riscontrato che esso è Connesso e che non è compatto, ma ho difficoltà anche a trovare una base.
Se mi aiutaste ve ne sarei grati
Risposte
Come base numerabile, ho trovato ${ RR, [q,r), (q,r] }$ dove $q,r in QQ | 0<=q,r<=5 $, ma non so quanto possa essere corretta la mia affermazione.
Ciao, come base di qualsiasi topologia puoi sempre prendere tutti gli aperti. Quindi non è difficile trovare una base 
Poi, quella che hai scritto non è una base perché per esempio l'insieme ${2}$ (che contiene $2$ come unico elemento) è aperto ma non è unione della famiglia che hai scritto. Sulla separabilità e sugli assiomi di separazione, la questione è abbastanza semplice, prova a considerare i due punti $6$ e $7$, come li separi?
Poi, quella che hai scritto non è una base perché per esempio l'insieme ${2}$ (che contiene $2$ come unico elemento) è aperto ma non è unione della famiglia che hai scritto. Sulla separabilità e sugli assiomi di separazione, la questione è abbastanza semplice, prova a considerare i due punti $6$ e $7$, come li separi?
Per quanto riguarda la separazioneho trovato che lo spazio da me proposto non è nemmeno di Kolmogorov, poiché come hai giustamente notato, per ogni elemento fuori da $[0,5]$, l'unico aperto che li contiene è $RR$...giusto?
Stavo per scrivere un errata corrige, poiché tutti i singleton di $[0,5]$ sono aperti, esso non può essere $N_2$, e una base potrebbe essere ${RR, {x}|x in [0,5]}$?
Non mi è ancora chiaro se esso è compatto oppure no, quindi se potessi avere delucidazioni sarebbe l'ideale.
Per quanto riguarda $N_1$, io penso che lo sia ma devo dimostrarlo.
Infine non so come vedere se $(RR,A)$ sia separabile dato che non è $N_2$.
Scusate per tutte queste domande.
Stavo per scrivere un errata corrige, poiché tutti i singleton di $[0,5]$ sono aperti, esso non può essere $N_2$, e una base potrebbe essere ${RR, {x}|x in [0,5]}$?
Non mi è ancora chiaro se esso è compatto oppure no, quindi se potessi avere delucidazioni sarebbe l'ideale.
Per quanto riguarda $N_1$, io penso che lo sia ma devo dimostrarlo.
Infine non so come vedere se $(RR,A)$ sia separabile dato che non è $N_2$.
Scusate per tutte queste domande.
Nota che ogni ricoprimento aperto del tuo spazio deve contenere $\mathbb R$ in quanto è l'unico aperto che contiene molti dei punti del tuo insieme.
Di fatti stamattina ho notato che questo implica che ci sarà sempre ${RR}$ come sottoricoprimento finito. Di conseguenza è compatto, giusto?
Sì; e per la connessione come ragioni?
Poiché non ci sono 2 aperti non banali disgiunti tali da ricoprire $RR$ (di fatti ogni ricoprimento ha $RR$ al suo interno ), esso è connesso.
Però per la separazione non ho idea di come fare dato che non è $N_2$
Però per la separazione non ho idea di come fare dato che non è $N_2$
Ho trovato che:
$(RR,A)$ è separabile $hArr$ $EE D sub RR : |D|=|NN| ^^ AA X in A, X nn D != \emptyset$
Ora se esistesse un insieme $D$ del genere, dato che $AA x in [0,5], {x} in A rArr {x} nn D !=\emptyset rArr x in D rArr |D|=|RR|!=|NN|$ e questo è assurdo, cioè $(RR,A)$ non è separabile.
Ho ragionato in maniera corretta oppure c'è qualcosa di sbagliato?
$(RR,A)$ è separabile $hArr$ $EE D sub RR : |D|=|NN| ^^ AA X in A, X nn D != \emptyset$
Ora se esistesse un insieme $D$ del genere, dato che $AA x in [0,5], {x} in A rArr {x} nn D !=\emptyset rArr x in D rArr |D|=|RR|!=|NN|$ e questo è assurdo, cioè $(RR,A)$ non è separabile.
Ho ragionato in maniera corretta oppure c'è qualcosa di sbagliato?
Vi disturbo a proposito di un altro quesito rispetto a questa topologia.
Presa la successione $a_n={1/n+1}_(n in NN)$ mi viene richiesto l'insieme dei punti di convergenza di $a_n$
Nella topologia euclidea ovviamente $a_n rarr 1$.
La definizione nota di convergenza ad un limite $L$ per gli spazi topologici asserisce che $AA U_L$ di $L$, ad un certo punto, $a_n$ cada in $U_L$. Questo però non può essere vero per 1 poiché anche ${1}$ è un aperto e in esso non c'è nessun punto della successione. Questo mi ha fatto pensare che $a_n rarr a in RR-[0,5]$ poiché per ogni punto di $[0,5]$ varrà lo stesso discorso. Sto commettendo una gaffe oppure il mio ragionamento fila? Scusate per le troppe domande
Presa la successione $a_n={1/n+1}_(n in NN)$ mi viene richiesto l'insieme dei punti di convergenza di $a_n$
Nella topologia euclidea ovviamente $a_n rarr 1$.
La definizione nota di convergenza ad un limite $L$ per gli spazi topologici asserisce che $AA U_L$ di $L$, ad un certo punto, $a_n$ cada in $U_L$. Questo però non può essere vero per 1 poiché anche ${1}$ è un aperto e in esso non c'è nessun punto della successione. Questo mi ha fatto pensare che $a_n rarr a in RR-[0,5]$ poiché per ogni punto di $[0,5]$ varrà lo stesso discorso. Sto commettendo una gaffe oppure il mio ragionamento fila? Scusate per le troppe domande
Va bene la non separabilità di questa topologia.
Invece, sugli assiomi di separazione che sapresti affermare?
Invece, sugli assiomi di separazione che sapresti affermare?
Direi che $(RR,A)$ non è di Kolmogorov poiché presi due qualsiasi punti $x_1, x_2 notin [0,5]$, l'unico aperto che li contiene è proprio $RR$ e quindi che non sia $T_0$ viene di conseguenza.
Per la successione mi sapreste dare un aiuto?
Per la successione mi sapreste dare un aiuto?
Quello che dici sulla successione è giusto.
Perfetto
Ringrazio tutti per le risposte e per l'aiuto<3
Ringrazio tutti per le risposte e per l'aiuto<3
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