Esercizio sulle applicazioni lineari
Ciao ragazzi potreste aiutarmi ad impostare questo esercizio di geometria?.
Data l'applicazione L:M_2(R) -> R_3[t] -> (a-c)+(a+b)t+(b-a)t^2+(b-c)t^3. Determinare le dimensioni del nucleo e dell' immagine di L. Dire se La è iniettiva o suriettiva o biettiva
Data l'applicazione L:M_2(R) -> R_3[t] -> (a-c)+(a+b)t+(b-a)t^2+(b-c)t^3. Determinare le dimensioni del nucleo e dell' immagine di L. Dire se La è iniettiva o suriettiva o biettiva
Risposte
Ma $a,b,c$ chi sono? Da come posso interpretare, $M_2(\RR)$ penso sia lo spazio delle matrici $2 \times 2$ e $\RR_3[t]$ è lo spazio dei polinomi di grado al più $3$.
Se $a,b,c,d$ sono le entrate di una generica matrice $2 \times 2$, per trovare ad esempio il nucleo, per definizione si ha che:
\( Ker(L) = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R}): (a-c) + (a+b)t + (b-a)t^2 +(b-c)t^3 = 0 \} \), dove lo $0$ si intende lo $0$ nello spazio di arrivo, ovvero il polinomio nullo.
Bisogna allora risolvere $(a-c) + (a+b)t + (b-a)t^2 +(b-c)t^3 = 0 $ come equazione tra polinomi.
Un polinomio è nullo se e solo se tutti i suoi coefficienti sono nulli, si ha dunque il sistema:
${(a-c = 0), (a+b=0),(b-a=0),(b-c=0) :}$ che, risolvendo, diventa:
${(a=c),(b=-a),(b=a),(b=c):} \rightarrow {(a=0),(b=0),(c=0):}$
Per cui il $\Ker(L)$ è fatto dalle matrici della forma \( \{ \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&d \end{pmatrix} : d \in \mathbb{R} \} = Span \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \).
Per cui $dim(\Ker(L)) = 1$.
Per trovare la dimensione dell'immagine, possiamo usare la formula delle dimensioni:
se $f: V \to W$ è un'applicazione lineare, allora $dim(V) = dim(\Ker f) + dim(\Imm f) $.
Noi abbiamo $L: M_2(\RR) \to \RR_3 [t]$, dunque $dim(M_2(\RR)) = dim(Ker L) + dim(Imm L)$.
Dato che $dim(M_2(\RR)) = 4$ e $dim(Ker L) = 1$, si ha che $dim(Imm L) = 3$.
Se $a,b,c,d$ sono le entrate di una generica matrice $2 \times 2$, per trovare ad esempio il nucleo, per definizione si ha che:
\( Ker(L) = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R}): (a-c) + (a+b)t + (b-a)t^2 +(b-c)t^3 = 0 \} \), dove lo $0$ si intende lo $0$ nello spazio di arrivo, ovvero il polinomio nullo.
Bisogna allora risolvere $(a-c) + (a+b)t + (b-a)t^2 +(b-c)t^3 = 0 $ come equazione tra polinomi.
Un polinomio è nullo se e solo se tutti i suoi coefficienti sono nulli, si ha dunque il sistema:
${(a-c = 0), (a+b=0),(b-a=0),(b-c=0) :}$ che, risolvendo, diventa:
${(a=c),(b=-a),(b=a),(b=c):} \rightarrow {(a=0),(b=0),(c=0):}$
Per cui il $\Ker(L)$ è fatto dalle matrici della forma \( \{ \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&d \end{pmatrix} : d \in \mathbb{R} \} = Span \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \).
Per cui $dim(\Ker(L)) = 1$.
Per trovare la dimensione dell'immagine, possiamo usare la formula delle dimensioni:
se $f: V \to W$ è un'applicazione lineare, allora $dim(V) = dim(\Ker f) + dim(\Imm f) $.
Noi abbiamo $L: M_2(\RR) \to \RR_3 [t]$, dunque $dim(M_2(\RR)) = dim(Ker L) + dim(Imm L)$.
Dato che $dim(M_2(\RR)) = 4$ e $dim(Ker L) = 1$, si ha che $dim(Imm L) = 3$.
"Lebesgue":
Ma $a,b,c$ chi sono? Da come posso interpretare, $M_2(\RR)$ penso sia lo spazio delle matrici $2 \times 2$ e $\RR_3[t]$ è lo spazio dei polinomi di grado al più $3$.
Se $a,b,c,d$ sono le entrate di una generica matrice $2 \times 2$, per trovare ad esempio il nucleo, per definizione si ha che:
\( Ker(L) = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R}): (a-c) + (a+b)t + (b-a)t^2 +(b-c)t^3 = 0 \} \), dove lo $0$ si intende lo $0$ nello spazio di arrivo, ovvero il polinomio nullo.
Bisogna allora risolvere $(a-c) + (a+b)t + (b-a)t^2 +(b-c)t^3 = 0 $ come equazione tra polinomi.
Un polinomio è nullo se e solo se tutti i suoi coefficienti sono nulli, si ha dunque il sistema:
${(a-c = 0), (a+b=0),(b-a=0),(b-c=0) :}$ che, risolvendo, diventa:
${(a=c),(b=-a),(b=a),(b=c):} \rightarrow {(a=0),(b=0),(c=0):}$
Per cui il $\Ker(L)$ è fatto dalle matrici della forma \( \{ \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&d \end{pmatrix} : d \in \mathbb{R} \} = Span \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \).
Per cui $dim(\Ker(L)) = 1$.
Per trovare la dimensione dell'immagine, possiamo usare la formula delle dimensioni:
se $f: V \to W$ è un'applicazione lineare, allora $dim(V) = dim(\Ker f) + dim(\Imm f) $.
Noi abbiamo $L: M_2(\RR) \to \RR_3 [t]$, dunque $dim(M_2(\RR)) = dim(Ker L) + dim(Imm L)$.
Dato che $dim(M_2(\RR)) = 4$ e $dim(Ker L) = 1$, si ha che $dim(Imm L) = 3$.
La matrice di partenza è della forma (a b; b c;) -> a-c+(a+b)t+(b-a)t^2+(b-c)t^3
Per favore, utilizza le formule matematiche per scrivere, altrimenti se scrivi senza non si capisce molto.
Sicuro che la generica matrice di partenza sia quella?
Perché, in tal caso, la tua applicazione lineare non ha come insieme di partenza tutto $M_2(\RR)$, ma solo un suo sottospazio.
In ogni caso, i conti da fare sono gli stessi. Avendo trovato che $a=b=c=0$ abbiamo che il nucleo è fatta dalla sola matrice nulla, dunque $dim(\Ker L) = 0$.
Per trovare l'immagine, dato che come detto lo spazio di partenza non è tutto $M_2(RR)$ ma è dato dal suo sottospazio \( V = \{ \begin{pmatrix} a&b \\ b&c \end{pmatrix} : a,b,c \in \mathbb{R} \} \) e la dimensione di $V$ è $3$ (in quanto abbiamo 3 elementi che possiamo scegliere: a,b,c).
Utilizzando nuovamente la formula delle dimensioni: $dim(V) = dim(Ker L) + dim(Imm L)$ abbiamo che $3 = 0 + dim(Imm L)$, da cui $dim(Imm L) = 3$ e quindi la funzione non è suriettiva, poiché lo spazio di arrivo totale è $RR_3[t]$ che ha dimensione $4$ e ricordiamo che $f: V \to W$ lineare è suriettiva se e solo se $dim(Imm f) = dim(W)$.
Sicuro che la generica matrice di partenza sia quella?
Perché, in tal caso, la tua applicazione lineare non ha come insieme di partenza tutto $M_2(\RR)$, ma solo un suo sottospazio.
In ogni caso, i conti da fare sono gli stessi. Avendo trovato che $a=b=c=0$ abbiamo che il nucleo è fatta dalla sola matrice nulla, dunque $dim(\Ker L) = 0$.
Per trovare l'immagine, dato che come detto lo spazio di partenza non è tutto $M_2(RR)$ ma è dato dal suo sottospazio \( V = \{ \begin{pmatrix} a&b \\ b&c \end{pmatrix} : a,b,c \in \mathbb{R} \} \) e la dimensione di $V$ è $3$ (in quanto abbiamo 3 elementi che possiamo scegliere: a,b,c).
Utilizzando nuovamente la formula delle dimensioni: $dim(V) = dim(Ker L) + dim(Imm L)$ abbiamo che $3 = 0 + dim(Imm L)$, da cui $dim(Imm L) = 3$ e quindi la funzione non è suriettiva, poiché lo spazio di arrivo totale è $RR_3[t]$ che ha dimensione $4$ e ricordiamo che $f: V \to W$ lineare è suriettiva se e solo se $dim(Imm f) = dim(W)$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo