Algebra - sistemi lineari

[mg00000001]

Scrivo per un dubbio riguardo al seguente esercizio:
In R3(R) con prodotto scalare euclideo, considerato il sistema:
$\{(2x−z=−2), (x+ ky+ 3z= k+ 1), (3x+ ky+ 2z=−1):}$
e posto k= 0, si determini una base per la chiusura lineare dell’insieme S delle soluzioni del sistema.

Risolvendo il sistema lineare per k=0, risulta X=-5/7,
y= a (parametro) e z=4/7, dunque una base di L(S) sarebbe ((0,1,0),(5,0,-4))

Tuttavia per k=0, p(A)=2, quindi non dovrebbe risultare dim L(S) = n-p(A) = 1 e quindi un solo vettore nella chiusura lineare dell’insieme S delle soluzioni?
Grazie.

[Lebesgue]

Ciao! Dato che il sistema non è omogeneo, la soluzione $S$ è della forma $S =Ker(\text{omogenea}) + S_{particolare}$.
Tu hai trovato che le soluzioni sono del tipo $(x,y,z) = (-5/7, y, 4/7) = (-5/7,0,4/7) + y(0,1,0)$, dove:

$(-5/7,0,4/7)$ è la soluzione particolare, mentre

$Span(0,1,0)$ è il nucleo del sistema omogeneo associato.

Infatti di norma ricordiamo che lo spazio delle soluzioni di un sistema non omogeneo non costituiscono uno spazio vettoriale, mentre quelle di un sistema omogeneo sì.

Tra l'altro, se provi a sostituire $(5,0,-4)$ nel tuo sistema, vedi facilmente che NON è una soluzione, ad esempio perché devi avere che $2x-z=-2$, ma $2*5-(-4)=14 \ne -2$. (morale: fare un controllo finale per vedere se le cose tornano, non è mai una brutta idea)