Autovalori
Si vuol dimostrare che gli autovalori delle matrice simmetriche sono reali.
Innanzitutto, ricordo che una matrice simmetrica è una matrice che è uguale alla sua trasposta, cioè A = A^T.
Quindi, parto dalla definizione di autovalore e autovettore. Se A è una matrice simmetrica, allora per ogni autovettore x corrispondente all'autovalore λ, abbiamo che A x = λ x.
Ora, voglio mostrare che λ è reale. Per farlo, posso considerare il prodotto scalare di entrambi i lati dell'equazione A x = λ x con il vettore x, ma considerando il complesso, poiché potrebbe esserci la possibilità di autovalori complessi.
Quindi, prendo il prodotto scalare di A x con x, cioè (A x, x), e il prodotto scalare di λ x con x, cioè (λ x, x). Poiché il prodotto scalare è definito come x^H A x, dove x^H è il coniugato trasposto di x.
Quindi, (A x, x) = x^H (A x) = (x^H A) x = x^H A x
Analogamente, (λ x, x) = λ (x^H x)
Ora, poiché A è simmetrica, A = A^T, ma nel caso di matrici reali, se A è simmetrica, allora A^T = A, ma se consideriamo matrici complesse, la simmetria si riferisce alla matrice hermitiana, cioè A^H = A.
Ma siccome nel nostro caso, stiamo considerando matrici reali, quindi A^T = A.
Quindi, x^H A x = x^H A x
Ma anche, x^H A x = (x^H A x)^*, dove * indica il coniugato complesso.
Quindi, (x^H A x)^* = x^H A^H x
Ma poiché A è simmetrica, A^H = A^T = A
Quindi, (x^H A x)^* = x^H A x
Quindi, x^H A x è reale.
Ora, dall'equazione A x = λ x, abbiamo x^H A x = λ x^H x
Ma x^H x è il prodotto scalare di x con se stesso, che è una quantità reale positiva se x ≠ 0.
Quindi, x^H A x = λ x^H x
Ma abbiamo visto che x^H A x è reale, e x^H x è reale e positivo.
Quindi, λ = (x^H A x) / (x^H x)
Poiché sia il numeratore che il denominatore sono reali, λ è reale.
Secondo voi è abbastanza completa come risposta?.
Innanzitutto, ricordo che una matrice simmetrica è una matrice che è uguale alla sua trasposta, cioè A = A^T.
Quindi, parto dalla definizione di autovalore e autovettore. Se A è una matrice simmetrica, allora per ogni autovettore x corrispondente all'autovalore λ, abbiamo che A x = λ x.
Ora, voglio mostrare che λ è reale. Per farlo, posso considerare il prodotto scalare di entrambi i lati dell'equazione A x = λ x con il vettore x, ma considerando il complesso, poiché potrebbe esserci la possibilità di autovalori complessi.
Quindi, prendo il prodotto scalare di A x con x, cioè (A x, x), e il prodotto scalare di λ x con x, cioè (λ x, x). Poiché il prodotto scalare è definito come x^H A x, dove x^H è il coniugato trasposto di x.
Quindi, (A x, x) = x^H (A x) = (x^H A) x = x^H A x
Analogamente, (λ x, x) = λ (x^H x)
Ora, poiché A è simmetrica, A = A^T, ma nel caso di matrici reali, se A è simmetrica, allora A^T = A, ma se consideriamo matrici complesse, la simmetria si riferisce alla matrice hermitiana, cioè A^H = A.
Ma siccome nel nostro caso, stiamo considerando matrici reali, quindi A^T = A.
Quindi, x^H A x = x^H A x
Ma anche, x^H A x = (x^H A x)^*, dove * indica il coniugato complesso.
Quindi, (x^H A x)^* = x^H A^H x
Ma poiché A è simmetrica, A^H = A^T = A
Quindi, (x^H A x)^* = x^H A x
Quindi, x^H A x è reale.
Ora, dall'equazione A x = λ x, abbiamo x^H A x = λ x^H x
Ma x^H x è il prodotto scalare di x con se stesso, che è una quantità reale positiva se x ≠ 0.
Quindi, x^H A x = λ x^H x
Ma abbiamo visto che x^H A x è reale, e x^H x è reale e positivo.
Quindi, λ = (x^H A x) / (x^H x)
Poiché sia il numeratore che il denominatore sono reali, λ è reale.
Secondo voi è abbastanza completa come risposta?.
Risposte
E' una risposta estremamente difficile da leggere:
l'idea è giusta, forse hai scordato delle $\cdot^H$ in qualche passaggio.
Prova a riscrivere tutto utilizzando le formule, tipo $x^H Ax$
o usando il tastino apposito
l'idea è giusta, forse hai scordato delle $\cdot^H$ in qualche passaggio.
Prova a riscrivere tutto utilizzando le formule, tipo $x^H Ax$
$ x^H A x $
o usando il tastino apposito
[formule]x^H A x[/formule]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo