Topologia e nozione di convergenza

[Cannelloni1]

Buonasera, mi domando quale relazione ci sia tra le topologie e le nozioni di convergenza (per nets, eventualmente). So che non tutte le nozioni di convergenza inducono una topologia, serve verificare alcune proprietà, tipo che il net costante converge alla costante, e cose così. Mi domando

Tutte le topologie sono ottenibili così? Da una nozione di convergenza?
In realtà credo di no, perché so che la topologia indotta da $||\cdot ||_1$ e la topologia debole su $l^1$ (lo spazio delle successioni sommabili) inducono la stessa nozione di convergenza. Del resto io so che la convergenza per le SUCCESSIONI è la stessa, ma magari per i nets è diverso (è la stessa cosa se gli spazi sono primo numerabile); dovrebbe valere che $(l^1,||\cdot ||_1)$ è primo numerabile (è metrico), ma $(l^1, weak)$ non lo è (credo). Ma non si può dire altro sulla domanda che ho fatto? E', eventualmente, solo un secco NO?

Ho messo tanta carne al fuoco, tante cose su cui potrei aver detto una sciocchezza, ma sto preparando un esame molto vasto e sto cercando di mettere insieme i pezzi, se vi sentite di correggere anche solo una parte io apprezzo molto

[otta96]

Si, una topologia si può equivalentemente caratterizzare dalla conoscenza completa di come funziona la convergenza per net in quell'insieme. Se la topologia è uno numerabile (volendo fare i puntigliosi basterebbe un pelino meno) si può restringere la conoscenza richiesta alla sola convergenza delle successioni.
Come si fa? Fondamentalmente consideri gli insiemi che contengono tutti i limiti di net (successioni) inclusi nell'insieme e dimostri che sono i chiusi, ed è ben più noto che una topologia si caratterizza anche dai suoi chiusi.
Questo è un verso, poi devi dimostrare che in 2 topologie diverse esiste un net che converga a un punto in esattamente una delle due topologie.