Rette nello spazio

[ale67117]

Ciao ragazzi ho un dubbio su questo esercizio, praticamente dice che siamo "in \(\mathbb{R}^3\) e si considerino i due piani
\(\pi_1: X_1 + X_2 + 3X_3 = 4\) and \(\pi_2: X_1 + 2X_2 + 4X_3 = 5\)
Determinare le equazioni della retta di intersezione tra i due piani."
La mia procedura è questa qui sotto, il problema che la soluzione è sbagliata, mi potreste aiutare, dove ho sbagliato?.
\[
(X_1 + 2X_2 + 4X_3) - (X_1 + X_2 + 3X_3) = 5 - 4
\]
Dopo:
\[
X_2 + X_3 = 1 \implies X_2 = 1 - X_3
\]

Sostituisco nella prima equazione questo \(X_2 = 1 - X_3\):
\[
X_1 + (1 - X_3) + 3X_3 = 4
\]
Ed semplificando
\[
X_1 + 1 + 2X_3 = 4 \implies X_1 = 3 - 2X_3
\]
\(X_3 = t\) lo considero come parametro indi.
\[
X_1 = 3 - 2t, \quad X_2 = 1 - t, \quad X_3 = t
\]
Perciò :
\[
\begin{cases}
X_1 = 3 - 2t \\
X_2 = 1 - t \\
X_3 = t
\end{cases}
\]

La soluzione ottenuta è :
\[
\boxed{
\begin{cases}
X_1 = 3 - 2t \\
X_2 = 1 - t \\
X_3 = t
\end{cases}
}
\]
Per \( t \in \mathbb{R} \):
\[
\boxed{\frac{3 - X_1}{2} = 1 - X_2 = X_3}
\]

[Lebesgue]

A me il procedimento sembra corretto.
Quale soluzione ti dà il prof/libro?