Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Qualcuno saprebbe spiegarmi questa regola ?
Siano A e B matrici .
Se det. A=0 e r(A)= 2
Se det. e r(B)= 3
Allora r(AB)≤2
Penso sia così poiché |A×B| = 0 per cui il grado del rango si abbassa da 3 a 2. Quindi perché non r(A)=2?
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Se A×B = matrice nulla e $|A|!=0$ allora B non è invertibile.
So che nn esiste la legge di annullamento del prodotto ma non riesco proprio a capire come dimostrare la verità di qst asserzione ( e se qst ultimo aspetto c'entri qualcosa )
Se mi viene chiesto di dimostrare che R^3 è somma diretta di due suoi sottospazi U e V, è sufficiente provare, per la formula di Grassman, che la dimensione di U+V è 3? Oppure devo provare prima che U+V = R^3? In sostanza il mio dubbio è: se il sottospazio somma è già di dimensione 3, sono sicura che si tratti di R^3?
Ragazzi se ho una matrice A= $ [ ( 1 , 5 , -4 , 1 , 0 ),( 3 , 2 , 1 , 0 , 3 ),( -1 , 1 , -2 , -1 , 0 ) ] $ come faccio a trovare il RANGE(A) che sarebbe lo spazio immagine di una matrice?
Va applicato il metodo di Gauss per ridurla e poi prese le colonne sulle quali abbiamo i Pivot?
Salve una conferma o una smentita
Allora sia $CC^3$ lo spazio complesso:
1) posso rappresentarlo mediante tre vettori indipendenti come faccio con $RR^3$?
La differenza è che ha componenti possono essere immaginarie?
2)Una base canonica di $CC^3$ esiste come quella per $RR^3$
3)La dimensione di $CC^3$ è 3 o 6?
Grazie a presto.
Buonasera. Sto avendo problemi a risolvere questo esercizio sulla diagonalizzazione di un endomorfismo, in quanto mi blocco molto prima di arrivare al momento della vera e propria ricerca degli autovalori. L'esercizio in questione è:
Sia f:V->V un endomorfismo con V=R^3
tale che:
$ { ( f(u_1)=u_1-u_2 ),( f(u_2)=u_2-u_3 ),( f(u_3)=-u_1+u_3 ):}$
Sia B'={(1,0,-2),(1,1,1),(0,1,-1)} una base di V.
Scrivere la matrice associata ad f in B', che risulta facilmente essere:
$ ( ( 1 , 0 , -1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ) ) $
Adesso mi chiede di scrivere la matrice associata ad ...
L'esercizio mi chiede di individuare le coniche degeneri del fascio $tx^2+y^2-(t+1)xy+t-1=0$ dove x,y sono le coordinate in $A^2$ e t è il parametro del fascio.
È corretto porre uguale a zero il determinante della matrice \begin{matrix} t && -(t-1)/2 \\ -(t-1)/2 && 1 \end{matrix}. Ovvero porre $-(t-1)^2/4 $ uguale a zero e ottenere così che la conica degenere è quella che si ottiene ponendo t=1?
Considero una matrice due per due e non una matrice tre per tre perché lo spazio è ...
Salve,
non riesco a capire in nessun modo cosa sia un piano affine e che differenza ci sia fra quest'ultimo e un piano vettoriale qualsiasi. Spiegate il concetto in soldoni per favore!!
Grazie a tutti!!
Assegnato il piano $pi1:x-y+z=0$ e il punto $P(0,1,2)$ e la retta $r:x=z;y=z;$, determinare il piano $pi2$ passante per $P$, perpendicolare a $pi1$ e parallelo ad $r$. Mi potete dire come risolverlo? Grazie
Ragazzi devo DISCUTERE e RISOLVERE il seguente sistema, sapete devo fare? Non riesco a fare il determinane perchè non mi esce quadrata la matrice completa
$2x+y=k^2-1$
$x-2y+z=0$
$kx+(2k+1)y-kz=1-k$
ho questo dubbio: Sia $A$ una matrice, in generale
$A^(2)=A A $
$ A ^(3)= A^(2) A $
ma non ad $A * A^(2)$ , giusto?
Sia $V=R^3$, determinare l'insieme S dei vettori di $R^3$ ortogonali ai vettori $v=(1,1,0)$ e $w=(-1,2-1)$. Determina anche una base di $S$. Sapete dirmi come fare? Domani ho l'esame!
Salve a tutti, avrei bisogno di una mano riguardo il seguente problema: non riesco a dimostrare che
\[(zI-E)^{-1}MC(zI-\Phi)^{-1}=T(zI-\Phi)^{-1}-(zI-E)^{-1}T\]
sapendo che le matrici \(E,\Phi\) (quadrate) e \(T\) soddisfano la relazione
\[T\Phi-ET-MC=0\]
con \(I\) intendo la matrice identica, mentre con \(z\) uno scalare.
Ho pensato che fosse sufficiente sostituire \(T\Phi-ET\) a \(MC\), ma questo non porta direttamente al risultato ma ...
Siano A,B matrici che possono essere moltiplicate
allore anche le matrici tB e tA possono essere moltiplicate e si ha: t(AB)=tBtA
DIMOSTRAZIONE:
Sia $A= (a_(ij)); B=(b_(jk)) $ Sia $AB=C$
allora $ c_(ik)= sum_(j = \1...n ) a_(ij)b_(jk) $
sia tB= $(b'_(kj))$ e tA= $(a'_(ji))$, allora la componente $k_i$ del prodotto tBtA è $ sum_(i = \1...n) b'_(kj)a'_(ji) $
Poiché $b'_(kj)=b_(jk)$ e $a'_(ji)=a_(ij)$, vediamo che quest'ultima espressione è uguale a:
$ sum_(i = \1...n) b_(jk)a_(ij) = sum_(i = \1...n) a_(ij)b_(jk) $
ma in questo modo non abbiamo ...
Buonasera, sto preparando un esame di topologia e ho trovato quest'esercizio che non riesco a risolvere.. Premetto che ho qualche problemino con le applicazioni, non mi sono molto simpatiche haha
Comunque questo era l'esercizio :
Descrivere le applicazioni continue da $X$ in $Y$ e da $Y$ in $X$ con $X= \mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$ e $Y=S^n\subset\mathbb{R^(n+1)}$
Innanzitutto $\mathbb{Z}$ non è compatto mentre $S^n$ lo è. ...
Buongiorno a tutti,
facendo un po' di esercizi sull' iniettività e surgettività mi sono imbattuta in questo esercizio:
$ f:Qxx Q rarr R $
$ f(x,y)=x^2+y $
mi viene chiesto se la funzione è iniettiva e surgettiva, dimostrandolo o confutandolo con un esempio.
Per l'iniettività l'ho svolto in questo modo:
ho imposto che $ f(x,y)=1 $ quindi avrei che $ x^2+y=1 $ con $ y=-3 $ ottengo $ x=+- sqrt(4) $, quindi mi risulta che la funzione non è iniettiva perchè il valore ...
Salve ho qualche dubbio riguardo l'argomento della forma canonica di Jordan..
Durante l'esecuzione di alcuni esercizi dove si chiede di trovare la forma canonica di un particolare endomorfismo, una volta trovati gli autovalori, per determinare la combinazione giusta (ad esempio se la molteplicità geometrica è 2 e molteplicità algebrica =4 capire se ci saranno 2 blochi 2x2 o uno da 3x3 e l'altro da 1x1) si calcola il rango di $f-\lambdaId$ e di $(f-\lambdaId)^2$. Cosa determina quest'ultimo?
Siano $A^1,..,A^n$ vettori colonna di dimensione $m$
Si supponga che essi abbiano coefficienti reali e che siano linearmente indipendenti su $R$
Dimostrare che sono linearmente indipendenti anche su $C$
Cioè devo dimostrare che se
$x_1*A^1+...+x_n*A^n=0$ se e soltanto se $x_i=0$
allora
$(x_1,y_1i)*A^1+...+(x_n, y_ni)*A^n= O $ se e soltanto se $x=0$ e $y=0 $
per semplicità (e anche perché non saprei fare altrimenti) vorrei lavorare con ...
Salve,
Avevo pensato di calcolare la superficie sferica mediante questo modo, data una sfera di raggio R:
all'altezza 0
Salve, conosco le seguenti definizioni di rango di una matrice:
1) È il numero di pivot della ridotta a scala (nonchè il numero di righe non nulle della ridotta a scala)
2) È il numero di righe indipendenti della matrice
3) È e l’ordine massimo di un minore della matrice avente determinante non nullo
Come posso far discendere la 2) e la 3) dalla 1)?
Grazie mille in anticipo!
Buonasera a tutti, avevo un dubbio circa una condizione.
Supponiamo di avere un vettore N di coordinate $N=(x,y,z)$:
la condizione $x^2+y^2+z^2=1$ cosa vuol dire? Vuol dire che N deve avere norma 1 in qualsiasi direzione? Perché a me sembra l'equazione di una sfera di raggio 1....grazie
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