Determinare un tipo di piano

[Schultz1]

Assegnato il piano $pi1:x-y+z=0$ e il punto $P(0,1,2)$ e la retta $r:x=z;y=z;$, determinare il piano $pi2$ passante per $P$, perpendicolare a $pi1$ e parallelo ad $r$. Mi potete dire come risolverlo? Grazie

[Antimius]

Per determinare univocamente un piano hai bisogno di un punto di applicazione (e ce l'hai) e della giacitura (che consta di due vettori linearmente indipendenti). Quali sono i vettori della giacitura? Hai due informazioni, ognuna delle quali ti dice qual è un vettore della giacitura:
- Il piano è parallelo a una retta
- Il piano è perpendicolare a un altro piano (e cioè parallelo a una sua retta normale)

[Schultz1]

E quindi per sapere l m n del piano da trovare come faccio? Che sistema devo fare?

[sandroroma]

Le indicazioni di Antimius sono sufficienti per la soluzione del quesito. Dal mio canto propongo una soluzione
più strettamente geometrica ( ma si tratta di personali vedute).
In pratica è questa:
A) Si trova la retta r' passante per P e parallela alla retta r, la cui equazione è quindi:
r') $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1}$
B) Si trova l'equazione del fascio di piani avente per asse la retta r':
$\lambda(x-y+1)+\mu(y-z+1)=0$
Ovvero :
(1) $\lambda x+(-\lambda+\mu)y-\muz+(\lambda+\mu)=0$
Il piano $ \pi1$ richiesto appartiene a questo fascio e per trovarlo occorre imporre la condizione
che il generico piano del fascio sia normale al piano $\pi2$. La condizione è:
$\lambda)(1)+(-\lambda+\mu)(-1)+(-\mu)(1)=0$
Da qui si ottiene $\lambda=\mu$ che sostituito nella (1) porta all'equazione:
$x-z+2=0$
che è l'equazione del piano richiesto.