Elevazione a n>2 matrici

[Lavinia Volpe]

ho questo dubbio: Sia $A$ una matrice, in generale
$A^(2)=A A $
$ A ^(3)= A^(2) A $
ma non ad $A * A^(2)$ , giusto?

[sandroroma]

Se non ricordo male il prodotto tra matrici, sempre che sia eseguibile !, è associativo.
Nel caso tuo la matrice A deve essere necessariamente quadrata per rendere possibile il prodotto $A\cdot A$.
Supposto che questa condizione sia soddisfatta, si ha:
$A^3=A\cdotA\cdotA=(A\cdotA)\cdotA=A^2\cdotA$
$A^3=A\cdotA\cdotA=A\cdot(A\cdotA)=A\cdotA^2$
Pertanto :
$A^3=A^2\cdotA=A\cdotA^2$

[Lavinia Volpe]

ma di fatto se $A$ e $B$ sono matrici che si possono moltiplicare, $AB$ non è uguale a $BA$

[Lavinia Volpe]

devo fare questo esercizio
data la matrice $A= ( ( 1 , a ),( 0 , 1 ) ) $
trovare $a'(2), a^(3), a^(n) $ per ogni intero positivo $n$

$A^(2) = A*A = ( ( 1 , a^(2) ),( 1 , 1 ) ) $

$A^(3) = A^(2) A = ( ( 1 , (a^(2)+a) ),( 1 , (1+a) ) ) $

(che è diverso da $A * A^(2) = ( ( 1+a , (a^(2)+a) ),( 1 , 1 ) ) $ )
continuando con quest'idea:

$A^(4)= ( ( 1 , (a^(2)+2a) ),( 1 , (1+2a) ) ) $

Riesco a scrivere la regola solo per $n>1$ ($n$ intero): $ ( ( 1 , [a^(2)+(n-2)a] ),( 1 , [1+(n-2)a] ) ) $

[@melia]

Nel calcolo di $A^2$ hai sbagliato sia il termine $a_(1,2)$ che il termine $a_(2,1)$, infatti
$a_(1,2)=((1,a))*((a),(1))=1*a+a*1=2a$
$a_(2,1)=((0,1))*((1),(0))=0*1+1*0=0$, di conseguenza

$ A^(2) = A*A = ( ( 1 , 2a ),( 0 , 1 ) ) $

[Ernesto011]

Una volta che hai ipotizzato come è fatto $A^n$ devi far vedere che effettivamente quella forma è corretta, di solito si fa per induzione

[Lavinia Volpe]

"@melia":Nel calcolo di $A^2$ hai sbagliato sia il termine $a_(1,2)$ che il termine $a_(2,1)$, infatti
$a_(1,2)=((1,a))*((a),(1))=1*a+a*1=2a$
$a_(2,1)=((0,1))*((1),(0))=0*1+1*0=0$, di conseguenza

$ A^(2) = A*A = ( ( 1 , 2a ),( 0 , 1 ) ) $

Ah! Allora
- la regola è $ ( ( 1 , na),( 0 , 1 ) ) $
o si scrive in un altro modo?

- in questo caso il prodotto è commutativo

[Lavinia Volpe]

"Ernesto01":Una volta che hai ipotizzato come è fatto $A^n$ devi far vedere che effettivamente quella forma è corretta, di solito si fa per induzione

c'è un esercizio che chiede di usarel'induzione, che io non so usare, cioè una volta ho letto qualcosa a riguardo
l'esercizio è:
Sia A una matrice strettamente diagonale superiore nxn, cioè una matrice quadrata $a_(ij)$ in cui tutte le componenti sulla diagonale e sotto di essa sono uguali a zero. Dimostrare che $A^(n)=0$ (si può fare la dim solo per n= 2,3,4. Il caso generale può essere trattato col metodo d'induzione)
la dimostrazione per n=2,3,4 penso di averla fatta correttamente, però ho qualche dubbio, dopo o domani la scriverò
l'induzione ho provato

$n=1, A^(1)=A=0$
$A^(n+1) =A^(n)*A^(1) = A^(n)*0=0$

[Lavinia Volpe]

mi sono accorta che è sbagliato

[Lavinia Volpe]

.

[Lavinia Volpe]

[Lavinia Volpe]

Non riesco a trattare il caso generale, aiuti?
questa è la mia dim, ma non ho usato l'induzione, credo

[Lavinia Volpe]

Questo è l'esercizio 16
Poi c'è l'esercizio 17, che chiede di dimostrare che la matrice $N$, che io ritengo essere dello stesso tipo della matrice dell'esercizio 16, se elevata alla $n+1$ è uguale a $O$.
Ma non è uguale a $O$ anche se elevata a $n$?

[Shocker1]

"Lavinia Volpe":[quote="Ernesto01"]Una volta che hai ipotizzato come è fatto $A^n$ devi far vedere che effettivamente quella forma è corretta, di solito si fa per induzione

c'è un esercizio che chiede di usarel'induzione, che io non so usare, cioè una volta ho letto qualcosa a riguardo
l'esercizio è:
Sia A una matrice strettamente diagonale superiore nxn, cioè una matrice quadrata $a_(ij)$ in cui tutte le componenti sulla diagonale e sotto di essa sono uguali a zero. Dimostrare che $A^(n)=0$ (si può fare la dim solo per n= 2,3,4. Il caso generale può essere trattato col metodo d'induzione)
la dimostrazione per n=2,3,4 penso di averla fatta correttamente, però ho qualche dubbio, dopo o domani la scriverò
l'induzione ho provato

$n=1, A^(1)=A=0$
$A^(n+1) =A^(n)*A^(1) = A^(n)*0=0$[/quote]
Non ho capito cosa hai fatto, in ogni caso non mi sembra una dimostrazione.

Negli altri post, quelli in cui hai postato le foto, hai scritto qualcosa come $A^n > 0$, ma $A^n$ è una potenza di una matrice, cosa vuol dire che una matrice è maggiore di $0$? E comunque non si capisce nulla, devi commentare con parole i passaggi che fai, non siamo nella tua testa.

Ti invito a recuperare il principio di induzione perché in algebra lineare è uno strumento fondamentale, ti invito anche a rivedere bene la teoria.

Ciao!

[Ernesto011]

In effetti più che dirti quello che hai fatto giusto, potrei dirti quel che non hai sbagliato.
E' che sembra che applichi le cose in modo mnemonico, questo di solito porta ad avere una confusione mentale (parlo di questo post e di anche altri che ho avuto modo di leggere nei giorni precedenti)

[Lavinia Volpe]

ho corretto, anche se dovrei correggere ancora, eliminando i simboli di esistenza e appartenenza. Ciò che voglio dire è che la matrice che si ottiene elevando la matrice A nxn a una potenza qualsiasi che va da 1 a n, e le cui componenti scriviamo come $a_(ij)$, non è nulla, quindi in essa qualche $a_(ij)$ diverso da zero, se $j$ e $i$ assumono i valori indicati.

C'è un altro errore: non j=4, ma j=n

[Lavinia Volpe]

"Ernesto01":In effetti più che dirti quello che hai fatto giusto, potrei dirti quel che non hai sbagliato.

adesso è ancora molto sbagliato? ma in che senso? devo cambiare tutto il procedimento o si tratta di piccolezze?

"Ernesto01":E' che sembra che applichi le cose in modo mnemonico, questo di solito porta ad avere una confusione mentale (parlo di questo post e di anche altri che ho avuto modo di leggere nei giorni precedenti)

Non ho capito cosa intendi per applicare in modo mnemonico, ma non con questo non voglio assolutamente dire che tu non abbia ragione!


(Mi chiedo ancora perché nel 17 chiede la dim per n+1)