Dimostrare che uno spazio vettoriale è somma diretta

[KatieP]

Se mi viene chiesto di dimostrare che R^3 è somma diretta di due suoi sottospazi U e V, è sufficiente provare, per la formula di Grassman, che la dimensione di U+V è 3? Oppure devo provare prima che U+V = R^3? In sostanza il mio dubbio è: se il sottospazio somma è già di dimensione 3, sono sicura che si tratti di R^3?

[anto_zoolander]

Considera una base(che esiste) di $RR^3$
$B={e_1,e_2,e_3}$
Considera $U=,W=$
Ovviamente $WcapU={0}$

[KatieP]

Non ho capito come questo mi potrebbe aiutare

[Shocker1]

Ciao,

chiaramente se $U, V \subset \mathbb{R^3}$ sono sottospazi vettoriali tali che $dim(U+V) = 3$ si ha automaticamente che $U+V = \mathbb{R^3}$, affiché la somma sia diretta va dimostrato che $U nn V = { 0 }$, questo si può fare in due modi: o con le mani, cioè dimostri effettivamente che se $v \in U nn V$ allora $v = 0$, oppure dimostri che $dim(U nn V) = 0$.

E' falso in generale che $dim(U + V) = 3 \Rightarrow U \oplus V = \mathbb{R^3}$, un esempio banale di questo fatto è il seguente: presi $U = Span(e_1, e_2)$ e $V = Span(e_2, e_3)$ si ha che: $dim(U+V) = 3$ ma $dim(U nn V) = 1$.