Moltiplicazione

[Lavinia Volpe]

Siano $A^1,..,A^n$ vettori colonna di dimensione $m$
Si supponga che essi abbiano coefficienti reali e che siano linearmente indipendenti su $R$
Dimostrare che sono linearmente indipendenti anche su $C$

Cioè devo dimostrare che se
$x_1*A^1+...+x_n*A^n=0$ se e soltanto se $x_i=0$
allora
$(x_1,y_1i)*A^1+...+(x_n, y_ni)*A^n= O $ se e soltanto se $x=0$ e $y=0 $

per semplicità (e anche perché non saprei fare altrimenti) vorrei lavorare con $m=2$
come si moltiplica un vettore ($A^i$) per un numero complesso $(x_j,y_ji)$?

ho dubbi pensando al caso in cui $A= (n,0)$

[spugna2]

Due modi:

1) Se "affianchi" i vettori in modo da formare una matrice $m \times n$, hai l'indipendenza lineare se e solo se tale matrice ha un minore $n \times n$ con determinante non nullo, ma in generale i determinanti non cambiano se estendi il campo (i coefficienti della matrice sono gli stessi).

2) Hai un'uguaglianza del tipo $(x_1+iy_1) A^1+...+(x_n+iy_n) A^n=0$, ma il primo membro è il vettore nullo se e solo se lo sono la sua parte reale e la sua parte immaginaria, e siccome gli $A^i$ hanno coefficienti reali risulta $x_1 A^1+...+x_n A^n=0$ e $y_1 A^1+...+y_n A^n=0$. A questo punto l'indipendenza lineare su $RR$ dice che tutti gli $x_i$ e tutti gli $y_i$ sono nulli, quindi lo sono anche i coefficienti complessi nell'uguaglianza iniziale.

[Lavinia Volpe]

grazia, ma, scusami, non capisco

1) Non sono ancora arrivata al determinante






Io poi non capisco come si opera in pratica con le "componenti"
cioè immagino la forma del sistema di equazioni col prodotto scalare
$ (x_(1)+iy_(1)) a_11 +...+ (x_(n)+iy_(n))a_(1n)$
$......$
$ (x_(m)+iy_(m))a_m1+...+(x_(m)+iy_(m))a_(mn)$

invece
moltiplicazione tra coefficiente complesso e vettore colonna espresso in componenti (se $m=2$) $ (x_(1)+iy_(1)) * (a_(11), a_(12))$

mi sembra siano cose diverse

[Lavinia Volpe]

comunque, credo di aver capito

[LLG GKV]

Ti basta dire che $ R^n $ è un sottospazio vettoriale di $ C^n $, per cui, se $ {v^i}_(iin I) $ è una base canonica di $ W $ allora puoi trovare (*), essendo $ dim(C^n)=2dim(R^n) $, $ {W^i}_(iin I) $ tali che $ <<<>;<>>>=C^n $, ma la cardinalità delle basi canoniche è una costante per ogni spazio vettoriale e l'ultima è una base canonica, dunque tutti i vettori devono essere linearmente indipendenti, dunque lo sono anche quelli di $ {v^i}_(iin I) $.

(*)la dimostrazione di questo fatto la puoi trovare nel Lang, credo verso la fine del capitolo "matrici"