Matrici teoriche ( ripasso)
Qualcuno saprebbe spiegarmi questa regola ?
Siano A e B matrici .
Se det. A=0 e r(A)= 2
Se det. e r(B)= 3
Allora r(AB)≤2
Penso sia così poiché |A×B| = 0 per cui il grado del rango si abbassa da 3 a 2. Quindi perché non r(A)=2?
----
Se A×B = matrice nulla e $|A|!=0$ allora B non è invertibile.
So che nn esiste la legge di annullamento del prodotto ma non riesco proprio a capire come dimostrare la verità di qst asserzione ( e se qst ultimo aspetto c'entri qualcosa )
Siano A e B matrici .
Se det. A=0 e r(A)= 2
Se det. e r(B)= 3
Allora r(AB)≤2
Penso sia così poiché |A×B| = 0 per cui il grado del rango si abbassa da 3 a 2. Quindi perché non r(A)=2?
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Se A×B = matrice nulla e $|A|!=0$ allora B non è invertibile.
So che nn esiste la legge di annullamento del prodotto ma non riesco proprio a capire come dimostrare la verità di qst asserzione ( e se qst ultimo aspetto c'entri qualcosa )
Risposte
Anche se non scritto, suppongo che le due matrici $ A $ e $ B $ siano quadrate.
Una delle proprietà del determinante è che $ det(AB)=det(A)det(B) $. Nel nostro caso poichè $ det(A)=0 $ si ha $ det(AB)=0 $, quindi non tutte le colonne (o le righe) di $ AB $ sono linearmente indipendenti (equivalente ad affermare che $ rank(AB)<=2 $, nel caso che si tratti di matrici 3x3 )
Per il secondo si ha che $ det(AB)=det(A)det(B)=0 $, essendo $ det(A)!=0 $ posso dividere per tale numero ed ottengo $ det(B)=0 $ (equivalente ad affermare che $ B $ non è invertibile)
Una delle proprietà del determinante è che $ det(AB)=det(A)det(B) $. Nel nostro caso poichè $ det(A)=0 $ si ha $ det(AB)=0 $, quindi non tutte le colonne (o le righe) di $ AB $ sono linearmente indipendenti (equivalente ad affermare che $ rank(AB)<=2 $, nel caso che si tratti di matrici 3x3 )
Per il secondo si ha che $ det(AB)=det(A)det(B)=0 $, essendo $ det(A)!=0 $ posso dividere per tale numero ed ottengo $ det(B)=0 $ (equivalente ad affermare che $ B $ non è invertibile)
"niccoset":cioè?
Nel nostro caso poichè $ det(A)=0 $ si ha $ det(AB)=0 $, quindi non tutte le colonne (o le righe) di $ AB $ sono linearmente indipendenti (equivalente ad affermare che $ rank(AB)<=2 $, nel caso che si tratti di matrici 3x3 )
"niccoset":
Per il secondo si ha che $ det(AB)=det(A)det(B)=0 $, essendo $ det(A)!=0 $ posso dividere per tale numero ed ottengo $ det(B)=0 $ (equivalente ad affermare che $ B $ non è invertibile)
Non ho capito cosa dovrei dividere...
"linearmente indipendenti" significa che nessuna riga (o colonna) della matrice può essere ottenuta come "combinazione lineare" delle altre (cioè come somma di alcune o anche tutte le altre dopo averle eventualmente moltiplicate per un opportuno numero).
In pratica il rango (tra le altre cose) è il numero di righe linearmente indipendenti nella matrice; se il determinante è zero allora non tutte lo sono e almeno una dipende dalle altre facendo diminuire così il rango ... (mi scuso per la "descrizione" molto informale ...)
Per l'altra ... $(|A|*|B|)/(|A|)=|B|$
'Notte
, Alex
In pratica il rango (tra le altre cose) è il numero di righe linearmente indipendenti nella matrice; se il determinante è zero allora non tutte lo sono e almeno una dipende dalle altre facendo diminuire così il rango ... (mi scuso per la "descrizione" molto informale ...)
Per l'altra ... $(|A|*|B|)/(|A|)=|B|$
'Notte
, Alex
Per la prima è un pochetto complicato ^_^°
L'altra... Non sto capendo perché abbiamo premesso che $ det(AB)=det(A)det(B)=0 $ ?
-----
Data una matrice A 3×3 esiste un'unica matrice C tale che AC=CA .
CIÒ perché C potrebbe essere $A^-1$ oppure $A^a$ ( la sua aggiunta? ) Penso a ste due spiegazioni perché sn gli unici casi che mi vengono in mente in cui mi pare valga la proprietà commutativa
Grazie a tutti, a presto
L'altra... Non sto capendo perché abbiamo premesso che $ det(AB)=det(A)det(B)=0 $ ?
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Data una matrice A 3×3 esiste un'unica matrice C tale che AC=CA .
CIÒ perché C potrebbe essere $A^-1$ oppure $A^a$ ( la sua aggiunta? ) Penso a ste due spiegazioni perché sn gli unici casi che mi vengono in mente in cui mi pare valga la proprietà commutativa
Grazie a tutti, a presto
"Myriam92":
Per la prima è un pochetto complicato ^_^°
L'altra... Non sto capendo perché abbiamo premesso che $ det(AB)=det(A)det(B)=0 $ ?
/quote]
[quote="Myriam92"]
Se A×B = matrice nulla
[/quote]
Dunque $ AB=0 $.
Per la proprietà scritta ieri $ det(AB)=det(A)det(B) $ . Essendo $ AB=0 $ allora $ det(AB)=0 $ quindi unendo questa alla proprietà scritta precedentemente si ha $ det(A)det(B)=0 $
"Myriam92":
...$ |A|!=0 $ allora ... .
Se $ det(A)!=0 $ allora nell'equazione $ det(A)det(B)=0 $ puoi dividere a destra e sinistra per $ det(A) $ . Senza tale ipotesi questo passaggio non sarebbe stato lecito (o al più potevi farlo ma dovevi imporre te la condizione che $ det(A) $ fosse diverso da zero)
"Myriam92":
Data una matrice A 3×3 esiste un'unica matrice C tale che AC=CA .
CIÒ perché C potrebbe essere $A^-1$ oppure $A^a$ ( la sua aggiunta? ) Penso a ste due spiegazioni perché sn gli unici casi che mi vengono in mente in cui mi pare valga la proprietà commutativa
)
Sei sicura? L'aggiunta non è detto che commuti con $A$, poi l'aggiunta è sempre relativa a un prodotto scalare. Chiaramente $C$ non è unica, poiché $A$ commuta con tutte le sue potenze, cioè: $A * A^k = A^k * A$, l'inversa non tirarla in ballo: non sai se la matrice è invertibile.
"niccoset":
Anche se non scritto, suppongo che le due matrici A e B siano quadrate.
Una delle proprietà del determinante è che det(AB)=det(A)det(B). Nel nostro caso poichè det(A)=0 si ha det(AB)=0, quindi non tutte le colonne (o le righe) di AB sono linearmente indipendenti (equivalente ad affermare che rank(AB)≤2, nel caso che si tratti di matrici 3x3 )
Si tratta di appunti scritti dal prof, che non ha specificato se le matrici sono quadrate...
Potresti dirmi quand'è che la matrice ha rango UGUALE a 2?
"niccoset":
Essendo AB=0 allora det(AB)=0
ciò avviene perchè avendo il $det(A)!=0$ significa che det(B) (almeno uno dei due fattori appunto) sia nullo suppongo...
"Shocker":
l'inversa non tirarla in ballo
non ho specificato, ma la matrice era invertibile, quindi spero che la sua inversa sia un altro dei fattori commutabili!
"Myriam92":
Potresti dirmi quand'è che la matrice ha rango UGUALE a 2?
Per definizione di rango quando il massimo numero di righe (o di colonne) linearmente indipendenti della matrice è pari a 2. Geometricamente questo significa, nel caso di una 3x3, che prese due righe qualsiasi queste rappresentano due vettori che individuano un piano; mentre se consideri 3 righe che rappresentano 3 vettori allora uno di questi vettori giacerà sul piano individuato dagli altri due.
"Myriam92":
[quote="niccoset"]Anche se non scritto, suppongo che le due matrici A e B siano quadrate.
Una delle proprietà del determinante è che det(AB)=det(A)det(B). Nel nostro caso poichè det(A)=0 si ha det(AB)=0, quindi non tutte le colonne (o le righe) di AB sono linearmente indipendenti (equivalente ad affermare che rank(AB)≤2, nel caso che si tratti di matrici 3x3 )
Si tratta di appunti scritti dal prof, che non ha specificato se le matrici sono quadrate...
[/quote]
Se per ipotesi c'è scritto che $detA = 0$ e $detB != 0$ allora necessariamente $A, B$ sono matrici quadrate: il determinante si definisce solo per matrici quadrate!
non ho specificato, ma la matrice era invertibile, quindi spero che la sua inversa sia un altro dei fattori commutabili!
Certo che commuta
Va bene grazie a tutti (anche se in ritardo!)
Vorrei sapere, se ho una matrice A 3x3 scalare con diagonale dal valore 3,3,3
il $|A^2| $non è diverso da $3^3*|A|$? visto che $3^6!=3^12$?
---------
Idem (quasi)
se la matrice è
A=$ ( ( a+1 , a ,9 ),( 1 , 1 , a ),( 0 , -1 , 3 ) ) $
se a=-1 allora $|2A^(-1)|= -4/3$ è vero, no?
grazie in anticipo ^_^
Vorrei sapere, se ho una matrice A 3x3 scalare con diagonale dal valore 3,3,3
il $|A^2| $non è diverso da $3^3*|A|$? visto che $3^6!=3^12$?
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Idem (quasi)
se la matrice è
A=$ ( ( a+1 , a ,9 ),( 1 , 1 , a ),( 0 , -1 , 3 ) ) $
se a=-1 allora $|2A^(-1)|= -4/3$ è vero, no?
grazie in anticipo ^_^
Intendi una matrice così ?
$A=((3,a,b),(0,3,c),(0,0,3))$
Se è vero che $|AB|=|A|*|B|$ allora sarà $|A^2|=|A A|=|A|*|A|$ ... fai te i conti ...
-----------------------------------------------
Mi pare corretto ... mi pare ...
$A=((3,a,b),(0,3,c),(0,0,3))$
Se è vero che $|AB|=|A|*|B|$ allora sarà $|A^2|=|A A|=|A|*|A|$ ... fai te i conti ...
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Mi pare corretto ... mi pare ...
no, come l'hai disegnata tu non è scalare, è una triangolare metti gli zeri anche in a,b,c . . .
------
va bene, e poi, sbaglio o solo per -3 e 2, A non è invertibile?
-----------
ora passiamo al difficile XD
A= $ ( ( -1 , 2 , 1 ),( 3 , 0, -2 ),( 1 , 4 , 1/2 ) ) $
$ B =( ( 1, 0, 0 ), (−3, 1 , 0 ) , (−4, 2 , 2 ) ) $
Quale delle seguenti asserzioni è VERA?
✷ |2B^−1| = 1
✷ Non esiste una matrice quadrata C di ordine
3 tale che AC = CA e |AC| = 1
✷ AB `e triangolare
✷ Esiste una matrice C di ordine 3 tale che
r(BC) = 2
✷ Nessuna delle altre risposte
sono indecisa tra la 2 e la 4 visto che la 2 , per essere vera l'ipotesi C deve essere l inversa di A, ma non mi pare basti per rendere vera la tesi;
la 4: se C dovesse avere rango 2, allora per la regola postata giorni fa, $r(BC)<=2$ e non uguale.
Sono più propensa per la seconda...
EDIT
ho aggiunto la matrice B che avevo dimenticato XD
metti gli zeri anche in a,b,c . . .------
va bene, e poi, sbaglio o solo per -3 e 2, A non è invertibile?
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ora passiamo al difficile XD
A= $ ( ( -1 , 2 , 1 ),( 3 , 0, -2 ),( 1 , 4 , 1/2 ) ) $
$ B =( ( 1, 0, 0 ), (−3, 1 , 0 ) , (−4, 2 , 2 ) ) $
Quale delle seguenti asserzioni è VERA?
✷ |2B^−1| = 1
✷ Non esiste una matrice quadrata C di ordine
3 tale che AC = CA e |AC| = 1
✷ AB `e triangolare
✷ Esiste una matrice C di ordine 3 tale che
r(BC) = 2
✷ Nessuna delle altre risposte
sono indecisa tra la 2 e la 4 visto che la 2 , per essere vera l'ipotesi C deve essere l inversa di A, ma non mi pare basti per rendere vera la tesi;
la 4: se C dovesse avere rango 2, allora per la regola postata giorni fa, $r(BC)<=2$ e non uguale.
Sono più propensa per la seconda...
EDIT
ho aggiunto la matrice B che avevo dimenticato XD
Scalare o triangolare, il determinante é lo stesso ...
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Ok.
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La 4 è vera, basta prendere una matrice di rango inferiore a tre ... IMHO ...
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Ok.
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La 4 è vera, basta prendere una matrice di rango inferiore a tre ... IMHO ...
un attimo, usando Binet nella scalare non ho capito cosa intendi dirmi...
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ma secondo me no per colpa della regola a inizio post! se la matrice che stiamo confrontando ha rango 2 ad es, deduciamo che $r(BC)<=2!$ remember?
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"axpgn":
La 4 è vera, basta prendere una matrice di rango inferiore a tre ... IMHO ..
ma secondo me no per colpa della regola a inizio post! se la matrice che stiamo confrontando ha rango 2 ad es, deduciamo che $r(BC)<=2!$ remember?
Intendo che sia la mia (con $a, b, c$) sia la stessa ma con tutti zeri tranne la diagonale maggiore hanno lo stesso determinante.
Per la 4) , la $B$ ha rango $3$ ma basta prendere una $C$ di rango $2$ (p.es. $((0,0,0),(1,2,1),(1,1,1))$) ed il rango di $BC$ sarà $2$
Per la 4) , la $B$ ha rango $3$ ma basta prendere una $C$ di rango $2$ (p.es. $((0,0,0),(1,2,1),(1,1,1))$) ed il rango di $BC$ sarà $2$
intendevo che non capisco perche mi indichi qst teorema:
per me
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Alex, ma non dirmi hai già dimenticato quella regola che tanta antipatia c'ha fatto
va bene, messo che sia come dici tu...
perchè allora
Non esiste una matrice quadrata C di ordine 3 tale che AC = CA e |AC| = 1
dovrebbe essere falsa ?
"axpgn":
Se è vero che |AB|=|A|⋅|B| allora sarà ∣∣A2∣∣=|AA|=|A|⋅|A| ... fai te i conti ...
per me
"Myriam92":...eil 3^3 va infatti elevato ulteriormente all'ordine della matrice che è 3...
il ∣∣A^2∣∣ è diverso da$ 3^3⋅|A|$, visto che $3^6≠3^12$
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Alex, ma non dirmi hai già dimenticato quella regola che tanta antipatia c'ha fatto
va bene, messo che sia come dici tu...
perchè allora
Non esiste una matrice quadrata C di ordine 3 tale che AC = CA e |AC| = 1
dovrebbe essere falsa ?
Sei d'accordo che il determinante della matrice $A$ costruita come hai detto è $3^3$ ?
Sei d'accordo che il "quadrato" della matrice $A$ è il prodotto della matrice $A$ per sé stessa (cioè $A^2=A A$) ?
Se sei d'accordo su entrambe le cose allora riprendendo il teorema citato precedentemente avremo $|A^2|=|A A|=|A|*|A|$ e quindi $|A^2|=3^3*3^3=3^6$ ma avremo anche $3^3*|A|=3^3*3^3=3^6$ ...
NON stai moltiplicando una matrice per uno scalare ma stai moltiplicando il determinante della matrice per uno scalare: non è la stessa cosa ...
-----------------------
Perché esiste! È l'inversa! ... che esiste sicuramente siccome il determinante di $|A|$ non è nullo ...
Sempre per la 4) ... il rango di un prodotto di matrici non può essere maggiore del minore tra i due, quindi dato che puoi sempre scegliere una matrice $C$ di rango $2$ la 4) è vera (te l'ho anche costruita la matrice $C$)
Cordialmente, Alex
Sei d'accordo che il "quadrato" della matrice $A$ è il prodotto della matrice $A$ per sé stessa (cioè $A^2=A A$) ?
Se sei d'accordo su entrambe le cose allora riprendendo il teorema citato precedentemente avremo $|A^2|=|A A|=|A|*|A|$ e quindi $|A^2|=3^3*3^3=3^6$ ma avremo anche $3^3*|A|=3^3*3^3=3^6$ ...
NON stai moltiplicando una matrice per uno scalare ma stai moltiplicando il determinante della matrice per uno scalare: non è la stessa cosa ...
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"Myriam92":
perchè allora
Non esiste una matrice quadrata C di ordine 3 tale che AC = CA e |AC| = 1
dovrebbe essere falsa ?
Perché esiste! È l'inversa! ... che esiste sicuramente siccome il determinante di $|A|$ non è nullo ...
Sempre per la 4) ... il rango di un prodotto di matrici non può essere maggiore del minore tra i due, quindi dato che puoi sempre scegliere una matrice $C$ di rango $2$ la 4) è vera (te l'ho anche costruita la matrice $C$)
Cordialmente, Alex
sì, d'accordo su tutto ma $ 3^3*|3^3|=3^6 $ per me il primo fattore a primo membro è la costante che quando moltiplica per il DETERMINANTE della matrice che io sappia si eleva all'ordine della stessa
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esiste una matrice quadrata C di ordine 3 tale che AC = CA e |AC| = 1
|AC| = 1
ma se l'inversa di A è una matrice generica (nè triang, nè scalare ecc) perchè mai , se moltiplicato il suo det per quello della sua "non inversa" dovrebbe risultare 1? C'è una regola di fondo cui fare riferimento? ti prego dimmela senno' io domani mattina già ho dimenticato tutto...
la 4)
io non ho mai detto che il rango sia maggiore del minore tra le due, ma MINORE o uguale al minore dei due!...
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esiste una matrice quadrata C di ordine 3 tale che AC = CA e |AC| = 1
|AC| = 1
ma se l'inversa di A è una matrice generica (nè triang, nè scalare ecc) perchè mai , se moltiplicato il suo det per quello della sua "non inversa" dovrebbe risultare 1? C'è una regola di fondo cui fare riferimento? ti prego dimmela senno' io domani mattina già ho dimenticato tutto...
la 4)
io non ho mai detto che il rango sia maggiore del minore tra le due, ma MINORE o uguale al minore dei due!...
"Myriam92":
esiste una matrice quadrata C di ordine 3 tale che AC = CA e |AC| = 1
|AC| = 1
ma se l'inversa di A è una matrice generica (nè triang, nè scalare ecc) perchè mai , se moltiplicato il suo det per quello della sua "non inversa" dovrebbe risultare 1? C'è una regola di fondo cui fare riferimento? ti prego dimmela senno' io domani mattina già ho dimenticato tutto...
Non capisco quello che vuoi dire, dato che $A$ è invertibile allora detta $C = A^-1$ la sua inversa si ha che $AC = A*A^-1 = I $ e quindi $det(AC) = 1$
la 4)
io non ho mai detto che il rango sia maggiore del minore tra le due, ma MINORE o uguale al minore dei due!...
Potresti provare a dimostrare questo fatterello: siano $A, B \in M(\mathbb{K}, n)$ matrici a coefficienti in un campo $\mathbb{K}$, allora se $rkA = n$(cioè $A$ è invertibile) vale che $rk(AB) = rk(BA) = rk(B)$, cioè moltiplicare per matrici invertibili lascia invariato il rango dei fattori. Quindi nel tuo caso, visto che $B$ ha rango massimo, basta prendere una qualsiasi matrice $C$ di rango $2$ per avere $rk(BC) = 2$.
Ps: Alex aggiusta la tua matrice, quella che hai scritto ha rango $1$.
@Myriam
Stai facendo confusione tra la moltiplicazione del determinante per un numero e la moltiplicazione di una matrice per uno scalare, sono due cose completamente diverse: nel primo caso è una banale moltiplicazione tra due numeri, nel secondo il risultato è ancora una matrice che avrà come determinante, il determinante della matrice originale elevato al numero d'ordine della stessa ... ti stai riferendo a questa proprietà ma non è il nostro caso che è questo $3^3*|A|$: è un numero il primo fattore, è un numero il secondo fattore ...
L'inversa di una matrice non è generica, è unica per ogni matrice invertibile e una delle sue proprietà è proprio questa: il determinante dell'inversa è il reciproco di quella originale (se rivedi i tuoi esercizi hai già applicato tale proprietà ...)
Ok, siamo d'accordo ma a parte il fatto che la matrice $C$ l'ho costruita, è lì da vedere e quindi la 4) sarebbe vera anche solo per questo fatto, perché sostieni che la 4) è falsa ?
Stai facendo confusione tra la moltiplicazione del determinante per un numero e la moltiplicazione di una matrice per uno scalare, sono due cose completamente diverse: nel primo caso è una banale moltiplicazione tra due numeri, nel secondo il risultato è ancora una matrice che avrà come determinante, il determinante della matrice originale elevato al numero d'ordine della stessa ... ti stai riferendo a questa proprietà ma non è il nostro caso che è questo $3^3*|A|$: è un numero il primo fattore, è un numero il secondo fattore ...
L'inversa di una matrice non è generica, è unica per ogni matrice invertibile e una delle sue proprietà è proprio questa: il determinante dell'inversa è il reciproco di quella originale (se rivedi i tuoi esercizi hai già applicato tale proprietà ...)
"Myriam92":
la 4) ... io non ho mai detto che il rango sia maggiore del minore tra le due, ma MINORE o uguale al minore dei due!...
Ok, siamo d'accordo ma a parte il fatto che la matrice $C$ l'ho costruita, è lì da vedere e quindi la 4) sarebbe vera anche solo per questo fatto, perché sostieni che la 4) è falsa ?
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