Individuare le coniche degeneri del fascio
L'esercizio mi chiede di individuare le coniche degeneri del fascio $tx^2+y^2-(t+1)xy+t-1=0$ dove x,y sono le coordinate in $A^2$ e t è il parametro del fascio.
È corretto porre uguale a zero il determinante della matrice \begin{matrix} t && -(t-1)/2 \\ -(t-1)/2 && 1 \end{matrix}. Ovvero porre $-(t-1)^2/4 $ uguale a zero e ottenere così che la conica degenere è quella che si ottiene ponendo t=1?
Considero una matrice due per due e non una matrice tre per tre perché lo spazio è affine? Se fosse stato proiettivo avrei dovuto usare una matrice tre per tre?
È corretto porre uguale a zero il determinante della matrice \begin{matrix} t && -(t-1)/2 \\ -(t-1)/2 && 1 \end{matrix}. Ovvero porre $-(t-1)^2/4 $ uguale a zero e ottenere così che la conica degenere è quella che si ottiene ponendo t=1?
Considero una matrice due per due e non una matrice tre per tre perché lo spazio è affine? Se fosse stato proiettivo avrei dovuto usare una matrice tre per tre?
Risposte
Hai ottenuto il risultato esatto per puro caso, cioè per una serie di circostanze: assenza dei termini di primo grado, termine noto che si annulla per il valore del parametro che annulla anche l'invariante di secondo grado.
Il procedimento corretto consiste nell'annullare l'invariante di terzo grado.
Prova, ad esempio, con $ tx^2+y^2-(t+1)xy-t=0 $. Degenere per $ t=1 $, ma anche per $ t=0 $. Il secondo caso non puoi trovarlo con il procedimento che proponi.
Ciao
Il procedimento corretto consiste nell'annullare l'invariante di terzo grado.
Prova, ad esempio, con $ tx^2+y^2-(t+1)xy-t=0 $. Degenere per $ t=1 $, ma anche per $ t=0 $. Il secondo caso non puoi trovarlo con il procedimento che proponi.
Ciao
Ma utilizzando una matrice tre per tre in questo caso il determinante mi verrebbe nullo e quindi dovrei concludere che ogni scelta di t mi da una conica degenere?
A me il determinante, a meno di costanti, viene $ (t-1)^3 $ per quella originale e $ t(t-1)^2 $ per la variante che ti ho proposto.
Ciao
Ciao
Perdonami, ma a questo punto penso di sbagliare la matrice di riferimento. Nel mio esercizio la matrice associata che trovo ha la terza colonna formata da tutti zeri non essendoci termini in z, e quindi ovviamente il determinante mi viene nullo. Come dovrebbe venire la matrice?
$ z $ c'è anche se non si vede.
$ | ( 2t , -(t+1) , 0 ),( -(t+1) , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2(t-1) ) | $ oppure $ | ( 2t , -(t+1) , 0 ),( -(t+1) , 2 , 0 ),( 0 , 0 , -2t ) | $
NB Se preferisci dividere tutti gli elementi per due puoi farlo.
Ciao
$ | ( 2t , -(t+1) , 0 ),( -(t+1) , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2(t-1) ) | $ oppure $ | ( 2t , -(t+1) , 0 ),( -(t+1) , 2 , 0 ),( 0 , 0 , -2t ) | $
NB Se preferisci dividere tutti gli elementi per due puoi farlo.
Ciao
Grazie mille, ora ho capito il mio errore. Gentilissimo.
Vorrei chiederti solo una precisazione. Ho un ultimo dubbio. Se mi trovassi di fronte ad un fascio così: $t_0*x^2+t_1*y^2=(t_0+t_1)*y^2$ dove le t stanno per i due parametri. In questo caso il determinante mi viene nullo, posso quindi dire che il fascio per qualsiasi scelta di $t_0, t_1$ è formato da coniche degeneri?
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