Cambiamento di base

[cooper1]

Siano date in $V = RR^3$ la base canonica $E = {e_1 , e_2 , e_3}$ e la base $B = {b_1 = e_1 + e_2 , b_2 = e_2 + e_3 , b_3 = e_1}$. Siano inoltre dati:
- il funzionale $f : V → RR$ che nelle basi B di V e 1 di $RR$ si rappresenta tramite la matrice $A=(1, −1, 0)$;
- l’operatore F : V → V che nella base B (in partenza e in arrivo) si rappresenta tramite la matrice $ M=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
Determinare:
1. la matrice rappresentativa di f nelle basi E di V e 1 di $RR$;
2. la matrice rappresentativa di F nella base E (in partenza e in arrivo).

Per il punto 1, ho risolto i sistemi $x*b_1 + y*b_2 +z*b_3 = e_i$ con $i=1,2,3$. Riducendo con Gauss e risolvendo i sistemi ottengo che le coordinate dei vettori rispetto alla base B sono:
$e_1 = (0,0,1); e_2 = (1,0,-1); e_3 = (-1,1,1)$
Calcolo poi le immagini di questi vettori tramite A, cioè $f(e_i)= A * e_i$ queste le esprimo in coordinate rispetto a 1 (moltiplico per 1) ed ottengo la matrice rappresentativa cercata.

Per il punto 2, ho proceduto come nel punto 1 (ottenendo le stesse coordinate di prima) però invece che esprimere i coefficienti rispetto ad 1 li ho espressi rispetto alla base B. quindi per esempio nel caso di $e_2$ ho fatto:
$F(e_2)= M* e_2= (1,0,-1)= 1*b_1+ 0*b_2+(-1)*b_3= (0,1,0)$ ottenendo poi la matrice cercata.

Quando invece studio il problema applicando la matrice di cambiamento di base ottengo matrici rappresentative diverse. In questo caso mi sono mosso nel seguente modo:
1. la matrice rappresentativa cercata (che chiamo A’) vale $A’ = D^(-1) A C$ dove C è la matrice che effettua il passaggio dalla base B a quella canonica (ottenuta disponendo per colonne i vettori della base B espressi rispetto alla base canonica, cioè gli stessi vettori) mentre D quella che passa da 1 ad 1 (ovvero 1). svolgendo i calcoli però la matrice che ottengo adesso non è uguale a quella di prima

2. qui $M’= C^(-1) M C$ dove C è la matrice che passa dalla base B a quella canonica (ottenuta disponendo per colonne i vettori di B) mentre $C^(-1)$ è l’inversa di C. anche qui però il risultato non coincide con la matrice ottenuta precedentemente.

Quale dei due procedimenti ho sbagliato? oppure sono sbagliati entrambi?

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda la matrice rappresentativa di F nella base E:

$F_E=((1,0,1),(1,1,0),(0,1,0))((1,0,0),(0,1,0),(0,1,1))((1,0,1),(1,1,0),(0,1,0))^(-1)$