Dubbio veloce su matrice associata ad f in un riferimento

[Evans1]

Salve a tutti! Vorrei una delucidazione su questo tipo di problema sulla matrice associata a un'applicazione lineare in un riferimento.

Considerato il riferimento di R3

$R = (e1 = (1; 1; 0); e2 = (1; 0; 1); e3 = (0; 1; 1))$

sia fk l’endomorfismo di R3 ottenuto estendendo per linearità le posizioni:

$fk(e1) = e1 + e3$
$fk(e2) = ke2 + ke3$
$fk(e3) = ke1 + ke3$

(i) Scrivere la matrice A associata ad fk nel riferimento R.

La mia domanda è: la matrice è quella semplicemente formata dai coefficienti della e, quindi

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & k & k\\
k & 0 & k\\
\end{pmatrix}

oppure bisogna tenere in considerazione il valore dei vettori che ci ha dato all'inizio? [(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)]

Più in generale, quando si ha un problema simile, cioè quando ci vengono già date le immagini, vanno semplicemente presi i coefficienti o c'è da fare qualche operazione prima? Se i valori di e1, e2 ed e3 non fossero stati quelli sarebbe cambiato qualcosa?

Grazie! Spero di essere stato abbastanza chiaro

[AndrewA1]

Ciao Evans!

Ricorda che la matrice associata ad un endomorfismo $f$ rispetto ad un riferimento (una base) $R$ altri non è che la matrice il quale j-esimo vettore colonna è formato dalle componenti delle immagini dei vettori di $R$ scritte rispetto $R$ stesso.

Nel tuo caso l'esercizio afferma che $AAkinRR$ :

$f_k(e_1) = e_1 + e_3$ ,
$f_k(e_2) = ke_2 + ke_3$ ,
$f_k(e_3) = ke_1 + ke_3$

e le immagini dei vettori di $R$ sono già scritte come combinazione lineare dei vettori di $R$ stesso.

[Evans1]

Grazie della risposta Andrew!

Dunque la matrice che ho scritto è corretta, vanno semplicemente considerati i coefficienti di e.

Per intenderci, anche nel caso in cui avessimo una cosa situazione del genere:

$fk(1 + x) = 2(1 + x) + k(x + x^2) + (k - 2)3$
$fk(x + x2) = k(1 + x) + (k + 1)(x + x^2) + (1)3$
$fk(3) = (k - 2)(1 + x) + 1(x + x^2) + (3 - k)3$

Posto come riferimento $R = (1+x, x+x^2, 3)$ la matrice associata sarebbe quella formata dai coefficienti di questa base, quindi

\begin{pmatrix}
2 & k & k-2\\
k & k+1 & 1\\
k-2 & 1 & 3-k\\
\end{pmatrix}

E' corretto?

[AndrewA1]

La prima matrice che hai scritto non era corretta poichè le immagini dei vettori della base vanno scritti (rispetto alla stessa base poichè si tratta di un endomorfismo) in colonna e non in riga, quindi la matrice corretta è la trasposta di quella che hai scritto.

Nota invece che la seconda matrice è simmetrica e quindi non crea problemi di questo genere, pertanto è corretta.