Esistenza & unicità applicazioni
Buonasera. C'è una tipologia di esercizi di algebra che ancora non comprendo bene: discutere esistenza e unicità di applicazioni lineari.
Da quanto ho capito, in primo luogo considero le preimmagini. Se esse formano una base del dominio, allora esistenza e unicità sono garantite, quindi mi basta controllare l'indipendenza lineare. Altrimenti, devo considerare le immagini: se trovo dei vettori linearmente dipendenti devo verificare che essi sono dati dalle immagini dei vettori linearmente dipendenti corrispondenti. Questo non mi garantisce l'unicità, ma solo l'esistenza.
Spero di essere stato chiaro, anche se dubito, perché non mi è molto chiaro il concetto.
Ad esempio posto questo esercizio:
Al variare del parametro reale k si discuta esistenza e unicità di applicazioni $f : RR^2 rarr RR^3$ che mandano rispettivamente i vettori $a_1=((1),(0))$, $a_2=((0),(k))$ e $a_3=((k),(1))$ in $b_1=((1),(0),(1))$, $b_2=((-1),(0),(1))$, e $b_3=((0),(0),(2))$.
Ora chiaramente i tre vettori di partenza sono sempre l.d. in quanto in numero maggiore della dimensione dello spazio. Questo però mi lascia perplesso. Cosa devo fare? Devo limitarmi a studiare la dipendenza di due tra questi vettori, o considerarli tutti?
Una volta che ho trovato i valori per cui sono l.d., devo passare alle immagini e verificarne la dipendenza lineare, giusto?
Scusate le molte domande ma vorrei chiarire questi concetti una volta per tutte. Grazie a chiunque sia disponibile...
Da quanto ho capito, in primo luogo considero le preimmagini. Se esse formano una base del dominio, allora esistenza e unicità sono garantite, quindi mi basta controllare l'indipendenza lineare. Altrimenti, devo considerare le immagini: se trovo dei vettori linearmente dipendenti devo verificare che essi sono dati dalle immagini dei vettori linearmente dipendenti corrispondenti. Questo non mi garantisce l'unicità, ma solo l'esistenza.
Spero di essere stato chiaro, anche se dubito, perché non mi è molto chiaro il concetto.
Ad esempio posto questo esercizio:
Al variare del parametro reale k si discuta esistenza e unicità di applicazioni $f : RR^2 rarr RR^3$ che mandano rispettivamente i vettori $a_1=((1),(0))$, $a_2=((0),(k))$ e $a_3=((k),(1))$ in $b_1=((1),(0),(1))$, $b_2=((-1),(0),(1))$, e $b_3=((0),(0),(2))$.
Ora chiaramente i tre vettori di partenza sono sempre l.d. in quanto in numero maggiore della dimensione dello spazio. Questo però mi lascia perplesso. Cosa devo fare? Devo limitarmi a studiare la dipendenza di due tra questi vettori, o considerarli tutti?
Una volta che ho trovato i valori per cui sono l.d., devo passare alle immagini e verificarne la dipendenza lineare, giusto?
Scusate le molte domande ma vorrei chiarire questi concetti una volta per tutte. Grazie a chiunque sia disponibile...
Risposte
Per $ k!=0 $ abbiamo $ a_3=l\ a_1+m\ a_2 $ , quindi $ { ( l=k ),( mk=1 ):}rArr { ( l=k ),( m=1/k ):} $ . $ f $ lineare esiste sole se può rispettare $ f(a_3)=f(ka_1+1/ka_2)=kf(a_1)+1/kf(a_2) $ , quindi solo per i valori del parametro per i quali il sistema ammette soluzioni $ kb_1+1/kb_2=b_3 $ . Inoltre $ a_1 $ e $ a_2 $ sono indipendenti per qualsiasi $ k!=0 $ , quindi $ f $ se esiste è unica (discende dal fatto che ogni applicazione lineare è completamente specificata dai valori che assume su una base).
Per il caso $ k=0 $ basta considerare che $ a_2=bar(0) $, e ogni applicazione lineare manda l'elemento neutro del dominio nell'elemento neutro della somma del codominio quindi non esiste $ f $ tale che $ f(a_2)=b_2 $ .
Per il caso $ k=0 $ basta considerare che $ a_2=bar(0) $, e ogni applicazione lineare manda l'elemento neutro del dominio nell'elemento neutro della somma del codominio quindi non esiste $ f $ tale che $ f(a_2)=b_2 $ .
Ciao, grazie per la risposta. Vediamo se ho capito.
Ho un esercizio che mi chiede di determinare esistenza e unicità di applicazioni in $CC^2$ tali che:
$f((1),(i)) = ((1),(0))$
$f((0),(1))=((0),(1))$
$f((k),(1))=((k),(1-3i))$
Il vettore $((k),(1))$ può essere scritto come $k((1),(i))+(1-ki)((0),(1))$, quindi perché esista f deve essere tale da soddisfare $kf((1),(i))+(1-ik)f((0),(1))$
Se esiste è anche unica essendo una base. Impostando e risolvendo il sistema mi esce che sono ammesse soluzioni per $k!=-1$.
E' corretto? Grazie mille in anticipo...
Ho un esercizio che mi chiede di determinare esistenza e unicità di applicazioni in $CC^2$ tali che:
$f((1),(i)) = ((1),(0))$
$f((0),(1))=((0),(1))$
$f((k),(1))=((k),(1-3i))$
Il vettore $((k),(1))$ può essere scritto come $k((1),(i))+(1-ki)((0),(1))$, quindi perché esista f deve essere tale da soddisfare $kf((1),(i))+(1-ik)f((0),(1))$
Se esiste è anche unica essendo una base. Impostando e risolvendo il sistema mi esce che sono ammesse soluzioni per $k!=-1$.
E' corretto? Grazie mille in anticipo...
Prima mi sono espresso male per distrazione, i valori di k per cui esiste f (e per tali valori è unica) sono le soluzioni del sistema. Nell'ultimo il sistema si riduce a $ 1-ki=1-3irArr k=3 $ , che è l'unico valore per cui f lineare esiste.
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