Autospazi in campo complesso
Salve a tutti, ho questo esercizio di algebra lineare:
Sia $phi : CC^2 rarr CC^2$ l'applicazione lineare associata alla matrice $A=[[2, 1+i],[1-i, 3]]$ nella base canonica. Determina gli autovalori e gli autospazi; trova, se esiste, una matrice unitaria U che diagonalizza A.
Allora, comincio calcolandomi il polinomio caratteristico della matrice:
$chi_A=det(A-lambdaI)=(2-lambda)(3-lambda)-(1+lambda)(1-i)=lambda^2-5lambda+4$
Gli autovalori sono 1 e 4, tutti distinti tra loro, quindi la matrice è diagonalizzabile. Calcolare gli autospazi a questo punto è questione di un paio di calcoli.
Per trovare la matrice unitaria, invece, non so cosa fare. Come si procede? So soltanto che una matrice complessa è unitaria se la sua inversa coincide con la sua coniugata trasposta.
Sia $phi : CC^2 rarr CC^2$ l'applicazione lineare associata alla matrice $A=[[2, 1+i],[1-i, 3]]$ nella base canonica. Determina gli autovalori e gli autospazi; trova, se esiste, una matrice unitaria U che diagonalizza A.
Allora, comincio calcolandomi il polinomio caratteristico della matrice:
$chi_A=det(A-lambdaI)=(2-lambda)(3-lambda)-(1+lambda)(1-i)=lambda^2-5lambda+4$
Gli autovalori sono 1 e 4, tutti distinti tra loro, quindi la matrice è diagonalizzabile. Calcolare gli autospazi a questo punto è questione di un paio di calcoli.
Per trovare la matrice unitaria, invece, non so cosa fare. Come si procede? So soltanto che una matrice complessa è unitaria se la sua inversa coincide con la sua coniugata trasposta.
Risposte
Ricordando come è definito il prodotto scalare nel caso complesso, puoi procedere come nel caso delle matrici simmetriche. Tra l'altro, essendo A autoaggiunta, uguale alla trasposta coniugata, l'esistenza della matrice unitaria U è assicurata.
Ciao, intanto grazie per la risposta.
So che è possibile definire un prodotto hermitiano su uno spazio vettoriale complesso V ma non capisco come usarlo per trovare U. Cosa intendi con "puoi procedere come nel caso delle matrici simmetriche"?
So che è possibile definire un prodotto hermitiano su uno spazio vettoriale complesso V ma non capisco come usarlo per trovare U. Cosa intendi con "puoi procedere come nel caso delle matrici simmetriche"?
Ciao anche a te. Dopo aver determinato una base spettrale ortonormale, secondo il prodotto scalare di cui sopra, ogni colonna della matrice unitaria U si identifica con le componenti di un vettore della base.
Ho capito. Nel mio caso essendo gli autovettori relativi ad autovalori distinti sono già ortogonali e mi basta semplicemente calcolarne la norma rispetto al prodotto hermitiano canonico. Corretto? Grazie mille per l'aiuto!
Esattamente.
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