Sottospazi di $End(RR^4)$

[Persona6]

Se posso, posterei anche un altro esercizio in cui mi blocco a metà strada:
Siano dati i due sottospazi vettoriali di RR^4

$V = {x ∈ RR^4 |x + y + z + t = 0};$ $W = span[[1],[2],[3],[4]]$

Dire se gli insiemi $E = {f ∈ End(RR^4) | f(V ) ⊆ W}$ e $E' = {f ∈ End(RR^4) | f(V ) = W}$ sono sottospazi vettoriali di $End(RR^4)$ e in caso affermativo determinarne la dimensione.

Allora, prima di tutto cerco di capire come sono fatti questi due insiemi.
Il generico vettore di V è $[[x],[y],[z],[-x-y-z]]$, dunque una base $ℬ_V=[[1],[0],[0],[-1]], [[0],[1],[0],[-1]], [[0],[0],[1],[-1]]$

Una base di W è invece ovviamente $ℬ_W=[[1],[2],[3],[4]]$

E è l'insieme degli endomorfismi tramite i quali l'immagine di V è inclusa in W. Dunque l'immagine di ogni vettore $vinV$ può essere scritta come combinazione lineare del vettore della base di W.
In particolare per dimostrare che E è un sottospazio devo far vedere che la somma di due suoi elementi soddisfa ancora la condizione di appartenenza a W, così come il prodotto fra un elemento e uno scalare del campo:

$f(v_1)+f(v_2)inW$
$lambdaf(v)=f(lambdav)inW$
Però non so come far vedere questa cosa.
Grazie a chiunque mi sa dare un aiuto...

Edit: mi sono accorto che in effetti vederlo è immediato perché discende subito dal fatto che W è a sua volta un sottospazio vettoriale... il problema adesso sta solo nel determinarne la dimensione!

[Studente Anonimo]

Nella migliore delle ipotesi, credo che tu lo stia banalizzando eccessivamente. Devi dimostrare che:

$[f_1 in E] ^^ [f_2 in E] rarr [AA c_1, c_2 in RR : f=c_1f_1+c_2f_2 in E]$

Poiché:

$[f_1 in E] rarr [AA x in V : f_1(x) in W]$

$[f_2 in E] rarr [AA x in V : f_2(x) in W]$

si ha:

$[AA x in V : f(x)=(c_1f_1+c_2f_2)(x)=c_1f_1(x)+c_2f_2(x) in W]$

In definitiva, $E$ è senz'altro uno spazio vettoriale. Viceversa, per quanto riguarda $E'$, si può nutrire più di qualche dubbio. Basti pensare che l'endomorfismo nullo, la cui immagine, essendo il solo vettore nullo, non può coincidere con $W$, non può appartenere a $E'$.

[Overflow94]

Per la dimensione farei le seguenti considerazioni $ E=Hom(V,W) $ quindi $ dim(E)=dim(W)*dim(V) $ .

[Persona6]

Grazie a entrambi. Overflow, ammetto di non aver mai sentito parlare di $Hom()$, di cosa si tratta?

[Overflow94]

Scusa pensavo fosse una notazione condivisa e un risultato noto. Con $ Hom(V,W) $ si intende lo spazio di applicazioni lineari da V in W. Ora questo è isomorfe a $ W^(dim(V) $ e quindi ne ha la stessa dimensione.

Comunque mi son reso conto che usare questo risultato è sbagliato, faccio una dimostrazione più completa.
Consideriamo che ogni elemento di $ E $ è completamente definito dai valori che assume su una base di $ RR^4 $ , in particolare se prendiamo come base quella di $ V $ che hai trovato estesa con un quarto vettore indipendente, $ {v_1,v_2,v_3,l} $ , notiamo che il generico elemento di $ E $ deve assumere valori in $ W $ per gli elementi della base di $ V $ . Allora costruiamo l'insieme $ D=W^3xx RR^4 $ , ora consideriamo l'applicazione :

$ A:Erarr D $
$ A(f)=(f(v_1),f(v_2),f(v_3),f(l)) $

Si dimostra facilmente che A è un isomorfismo quindi $ dim(E)=dim(W^3xx RR^4)=7 $

[Persona6]

Molto gentile. Grazie.