Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti, ho un problema con il seguente esercizio:
Si stabilisca se nello spazio vettoriale $ M_2(R) $ delle matrici 2x2 su R, il sottoinsieme
$ { A in M_2(R) : A A^t = ( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) )} U {( (0,0), (0,0))} $
è o meno un sottospazio.
Io ho verificato subito che contiene il vettore nullo, ma poi provando a fare il prodotto riga per colonna di A con la sua trasposta mi esce che il primo elemento è la somma di due quadrati, che non può mai essere negativa sul campo reale, quindi posso concludere che non è un sottospazio?
Salve, c'è questo quesito che non riesco proprio a risolvere. Ho cercato a fondo online ma non trovo esercizi simili.
Si considerino la retta $ r=x-y+3=0 $ e il punto $A(0,2)$
$1)$ Determinare la retta ortogonale a $r$ passante per il punto A
$2)$ Determinare un punto che abbia distanza 3 da $r$
Il primo punto l'ho risolto e ho trovato la retta $s: -x-y+2=0$
Come si svolge il secondo ??
Sia fissato un riferimento cartesiano ortogonale monometrico dello spazio. Determinare al variare del parametro $h$, i vettori $v(x,y,z)$ tale che il prodotto scalare di $v$ con $(1,1−h,−h)$ sia $1$, $v$ sia parallelo al piano $π : −y + hz = 0$ e il prodotto scalare di $v$ con $(0,h,−h)$ sia $−1$.
Non ho mai fatto un esercizio di questo tipo e non so come approcciarmi, voi ne sapete qualcosa?
Salve a tutti..vorrei dei consigli..
Devo dare come esame algebra lineare(cosi chiamata da noi), frequento matematica, ma la nostra professoressa purtroppo ha dato tutto per scontato ,e tre al libro consigliato ( che non dice quasi nulla) non ho nulla su cui studiare perché non mette dispense... Vorrei sapere dove poter trovare PDF o video dove spiegano gli argomenti di algebra . grazie mille a tutti:))
[xdom="Martino"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]
Buonasera,
Mostrare che l'insieme \(\displaystyle W= \begin{vmatrix} 3a &-a+b \\ a & -2a+b \end{vmatrix} | a,b \in \mathbb{R} \)
sia un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale \(\displaystyle M^{2x2} \) e determinare una base.
Diciamo che la prima parte me la cavo, invece per la seconda non sono tanto convinto.
Io procedo cosi, per l'applicazione lineare \(\displaystyle f:v \in M^{2x2} \to \mathbb{K^4} \) la quale associa ad ogni righa della matrice, un vettore numerico dello ...
Sul campo $Q$ dei numeri razionali si consideri lo spazio vettoriale $Q^5$
• Si dimostri che il sottoinsieme
$V = {(a, b, c, d, e) ∈ Q^5: b = 0, a + c = d + e}$
è un sottospazio di $Q^5$.
• Si determinino la dimensione di $V$ e una sua base.
Ho fatto il primo punto così:
1) Lo zero di $Q^5$ appartiene a $V: 0 in V$ perché $(0,0,0,0,0)$ è soluzione di entrambe le equazioni.
2) Consideriamo due vettori d $V: (a_1,b_1,c_1,d_1,e_1)$ e ...
Avete riferimenti dove posso trovare la dimostrazione che il determinante di una matrice composta da vettori linearmente dipendenti è uguale a zero?
ciao ragazzi, ho risposto a un paio di domande teoriche.. ma non sono certo delle mie risposte.
Grazie in anticipo .
1) Un sistema omogeneo di 3 equazioni in 2 incognite ha sempre almeno una soluzione diversa dalla soluzione nulla?
Falso, ha sempre una soluzione nulla.
2) in R4, se 3 vetttori sono linearmente dipendenti allora uno è un multipolo di uno degli altri 2.
Falso, non è detto. La preposizione dice che uno dei vettori deve essere combinazione lineare degli altri,
non un ...
Salve a tutti! Perdonate la domanda che sarà piuttosto banale, ma non riesco a venirne a capo, non tanto forse per il ragionamento dietro, quanto per il modo in cui la mia professoressa l'ha posta all'interno di un compito d'esame:
Considerati i vettori v1=(1,1,0,1) e v2=(2,3,1,-1), determinare una base B che contiene i due vettori e le coordinate del vettore v=(3,4,1,0) rispetto a B. Ora, solitamente, un esercizio del genere sarebbe facile se la richiesta fosse solo determinare le coordinate ...
Esiste un algoritmo generale per trovare la rappresentazione algebrica di un sottospazio affine partendo da quella parametrica?
Non ho trovato nulla su internet o su vari libri di algebra lineare e geometria. Spero che qualcuno possa aiutarmi. Grazie in anticipo.
Ciao a tutti!! Volevo dei consigli per proseguire nello svolgimento di questo esercizio:
"Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$, e siano $f,g in End(V)$.
a)Mostrare che se $f+g$ è invertibile, allora esiste la somma diretta tra $Ker f$ e $Ker g$. Se inoltre esiste la somma diretta tra $Im f$ e $Im g$, allora $V=Ker f oplus Ker g= Im f oplus Im g$
b)Mostrare che se esiste la somma diretta tra $Ker f$ e ...
Salve a tutti. Ho un problema su un punto di un esercizio. Il testo è questo
In E˜2(C) si consideri la conica Ck : $x^2+(k-6)y^2+2x+2ky=0$ dove k è un parametro reale. Si determini
per quali valori di k la conica ha un asintoto parallelo alla retta s: $x+y+2=0$
La risposta è k=5
Ciò che ho provato a fare è quello di determinare il punto improprio della conica che me lo dice la direzione della retta s stessa, determinare il centro della conica e tracciare la retta che li congiunge. ...
Ciao,mi sono imbattuto in un esercizio che sto cercando di risolvere.Devo stabilire se questo vettore ( 2,3,1,1) è c.l. di questi altri 5 vettori di R^4 {(1,1,0,3),(2,1,0,4),(1,0,1,0),(1,2,1,4),(1,2,0,5)} Dato che è negli esercizi del capitolo dive si spiega come risolvere i sistemi lineari con le matrici credo che bisogna usare il teorema di Rouchè Capelli.Io però non abendolo ancora studiato ho impostato un sistema cercando di svolgerlo come si fa di solito soltanto che quando vado a ...
Ciao,
non saprei se è la sezione più giusta, mi piacerebbe poter rappresentare un piano x - 2z = 3 intuendolo carta/penna,ma non capisco come fare.
Ho pensato di scrivere x=2z+3 e assegnare ad esempio z=1 e trovare la x poi z=3ecc... però facendo cosìtrovo i punti ma fare il piano è tutt'altra cosa.
Mi sapreste dire un metodo per poter disegnare un piano in 3D sfruttando ad esempio una equazione di questo tipo che ho scritto come esempio.
Grazie mille.
Ciao, tra poco ho un esame ed ho dei quesiti che erano stati chiesti gli anni scorsi hai quali non so dare una risposta.
1)Quanti autovalori ha una funzione lineare?
2)Ogni funzione lineare ha autovettori?
3)Ogni sottospazio ha almeno una base ortonormale?
Spero riusciate a darmi una risposta. Grazie!!
Salve a tutti!
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio:
"Data la quadrica $ Q: x^2−2xy−z^2 + 4y+ 1 = 0 $ .
Si determini un’equazione cartesiana del piano $ alpha $ passante per P = (0, 0, 1) tale che la sezione $ Qnn alpha $ sia riducibile"
Io prima di tutto ho studiato la quadrica e mi esce un iperboloide iperbolico, ma per determinare l'equazione del piano per cui risulta riducibile non so come muovermi...
Intanto grazie!
Salve a tutti. Ho un problema sulla determinazione del polo di una retta. Posto il testo dell'esercizio
In E˜2(C):
• si riconosca la conica C : $x^2+y^2+4xy-2y+1=0$ e si determinino il centro, il fascio dei diametri e gli assi di C;
Risposta: Iperbole, centro $C = (2/3,-1/3)$ fascio: $(x + 2y)l + (2x + y − 1)m = 0$, assi: $3x + 3y − 1 = 0, x − y − 1 = 0$
Fin qui tutto ok. Mi propone poi una seconda richiesta:
• si determini il polo della retta r : $x + y = 0$ nella polarità indotta da C.
Risposta ...
Se una matrice quadrata $A$ di ordine n ha una riga del tipo $a_i=c_1*v_1+...+c_h*v_h$ allora
$det(A)=c_1*det((a_1),(...),(v_1),(...),(a_n))+...+c_h*det((a_1),(...),(v_h),(...),(a_n))$
Dove con $a_1$,...,$a_n$ si indicano le righe di $A$.
Non riesco bene a visualizzare questa proprietà senza un esempio e vi chiederei di fornirmene uno.
(Il testo non specifica di che ordine sono $v_1$,...,$v_h$ ma suppongo sia $n$!)
Grazie anticipatamente
Salve a tutti avrei un problema con alcuni pezzi di un esercizio che ora posto
In E3(C) (spazio ampliato e complessificato) si riconosca la quadrica Q : $x^2-2xy-z^2+4y+1=0$ stabilendo la natura dei suoi punti semplici.
Risposta Iperboloide iperbolico
Tutto ok tranne il fatto che dopo aver riconosciuto che la quadrica è generale e il determinate di A* diverso da zero (A* intendo la quadrica intersecata con il piano improprio) può essere un ellissoide o un iperboloide e questo se la conica ...
Sia f2 : R3 → R3
la trasformazione lineare che verifica
MC,C(f2) =
1 2 2
0 3 2
0 −4 −3
(a) calcolare autovalori ed autovettori di f2;
(b) calcolare, se esiste, una base rispetto alla quale la matrice associata a f2 è
diagonale;
(c) determinare se f2 è un’isometria.
Ho risolto i primi due punti dell'esercizio senza alcun problema, ma non riesco proprio ad approcciarmi all'ultimo punto.
Qualcuno mi potrebbe aiutare a determinare se f(2) è un'isometria? Grazie
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