Dimostrazione det zero per vettori dipendenti

[zio_mangrovia]

Avete riferimenti dove posso trovare la dimostrazione che il determinante di una matrice composta da vettori linearmente dipendenti è uguale a zero?

[axpgn]

Prova a guardare qui (Teorema SMZD)

[killing_buddha]

Il determinante \(\det : K^n\times\dots\times K^n = M_n(K)\to K\) è una applicazione multilineare: è molto facile dimostrare che se $f$ è multilineare (facciamo con lo stesso dominio e lo stesso codominio di $\det$) allora $f$, valutata in una tupla di vettori linearmente dipendenti, dà zero come risultato, usando la sola alternanza di $f$: supponiamo che siano dati $v_1,...,v_n$, e che (wlog) si possa supporre $v_n = \sum_{i=1}^{n-1} a_i v_i$ per certi scalari $a_i\in K$. Allora
\[
f(v_1, ... , v_n) = f(v_1,..., v_{n-1}, \sum a_i v_i) = \sum a_i f(v_1,..., v_{n-1}, v_i) = 0
\] perché $f$, essendo alternante, vale zero su tuple che contengono ripetizioni (se esiste una tale ripetizione, diciamo $v_i=v_j$ per $i\neq j$, la permutazione $\sigma =(ij)$ è tale per cui \(f(v_1,...,v_i,...,v_j,..., v_n)=(\text{sgn}\,\sigma) f(v_1,...,v_j,...,v_n)\), di modo ché, dato che $\sigma$ ha segno $-1$, si abbia $2 f(v_1,...,v_i,...,v_j,..., v_n)=0$, che implica, se la caratteristica di $K$ non è 2, che $f(v_1,...,v_i,...,v_j,..., v_n)=0$.).