Dimensione e base di un sottospazio
Sul campo $Q$ dei numeri razionali si consideri lo spazio vettoriale $Q^5$
• Si dimostri che il sottoinsieme
$V = {(a, b, c, d, e) ∈ Q^5: b = 0, a + c = d + e}$
è un sottospazio di $Q^5$.
• Si determinino la dimensione di $V$ e una sua base.
Ho fatto il primo punto così:
1) Lo zero di $Q^5$ appartiene a $V: 0 in V$ perché $(0,0,0,0,0)$ è soluzione di entrambe le equazioni.
2) Consideriamo due vettori d $V: (a_1,b_1,c_1,d_1,e_1)$ e $(a_2,b_2,c_2,d_2,e_2)$
$b_1+b_2=0+0=0$
$(a_1+a_2)+(c_1+c_2)-(d_1+d_2)-(e_1+e_2)=0+0=0$
$V$ è chiuso rispetto alla somma dei vettori: dati $a_1,a_2 in V$ risulta che $(a_1+a_2) in V$
3)$alpha b_1 = alpha 0 = 0$
$alpha a_1 + alpha c_1 - alpha d_1 - alpha e_1 = alpha (a_1+c_1-d_1-e_1)= alpha 0 = 0$
$V$ è chiuso rispetto al prodotto per scalari del campo $Q$: dato $a in V$ e dato $alpha in Q$ risulta che $alpha a in V$.
Quindi il sottoinsieme $V$ è un sottospazio di $Q^5$.
Ora come faccio a risolvere il secondo punto?
• Si dimostri che il sottoinsieme
$V = {(a, b, c, d, e) ∈ Q^5: b = 0, a + c = d + e}$
è un sottospazio di $Q^5$.
• Si determinino la dimensione di $V$ e una sua base.
Ho fatto il primo punto così:
1) Lo zero di $Q^5$ appartiene a $V: 0 in V$ perché $(0,0,0,0,0)$ è soluzione di entrambe le equazioni.
2) Consideriamo due vettori d $V: (a_1,b_1,c_1,d_1,e_1)$ e $(a_2,b_2,c_2,d_2,e_2)$
$b_1+b_2=0+0=0$
$(a_1+a_2)+(c_1+c_2)-(d_1+d_2)-(e_1+e_2)=0+0=0$
$V$ è chiuso rispetto alla somma dei vettori: dati $a_1,a_2 in V$ risulta che $(a_1+a_2) in V$
3)$alpha b_1 = alpha 0 = 0$
$alpha a_1 + alpha c_1 - alpha d_1 - alpha e_1 = alpha (a_1+c_1-d_1-e_1)= alpha 0 = 0$
$V$ è chiuso rispetto al prodotto per scalari del campo $Q$: dato $a in V$ e dato $alpha in Q$ risulta che $alpha a in V$.
Quindi il sottoinsieme $V$ è un sottospazio di $Q^5$.
Ora come faccio a risolvere il secondo punto?
Risposte
La dimensione di una sottovarietà lineare definita da $k$ equazioni indipendenti in $QQ^n$ è $n-k$. Una sua base si trova prendendo $5-2$ vettori che soddisfino le $n-k$ equazioni. Nel tuo caso, \(\left(\begin{smallmatrix} 0\\1\\0\\0\\0 \end{smallmatrix}\right), \left(\begin{smallmatrix} 1\\0\\-1\\0\\0 \end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix} 0\\0\\0\\1\\-1 \end{smallmatrix}\right)\) vanno benissimo.
Quindi la dimensione è 3?
Che devo farci con quei tre vettori e come te li sei ricavati?
Che devo farci con quei tre vettori e come te li sei ricavati?
Che devo farci con quei tre vettori?
"Er Monnezza":
A monné, e carte so' pronte!
Embè, perché 'n te ce pulisci 'r culo?
Non era inteso in modo offensivo.
Mi ha solo fatto ridere la domanda. Che ci vuoi fare? L'esercizio ci fai 
sono la base che cerchi. Come l'ho trovata: ho trovato facendo a mente il conto tre vettori che stanno nel sottospazio
sono la base che cerchi. Come l'ho trovata: ho trovato facendo a mente il conto tre vettori che stanno nel sottospazio
A mente killing.. stai invecchiando.
Sono sicuro che prima solo guardandoli si sarebbero messi in ordine da soli!
Sono sicuro che prima solo guardandoli si sarebbero messi in ordine da soli!
No, sto invecchiando perché ho la pazienza di fare 'sti esercizietti. :smitten:
"killing_buddha":
La dimensione di una sottovarietà lineare definita da $k$ equazioni indipendenti in $QQ^n$ è $n-k$. Una sua base si trova prendendo $5-2$ vettori che soddisfino le $n-k$ equazioni. Nel tuo caso, \(\left(\begin{smallmatrix} 0\\1\\0\\0\\0 \end{smallmatrix}\right), \left(\begin{smallmatrix} 1\\0\\-1\\0\\0 \end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix} 0\\0\\0\\1\\-1 \end{smallmatrix}\right)\) vanno benissimo.
Scusami come fa $(0,1,0,0,0)$ a soddisfare le due equazioni se $ b=0$?
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