Esercizio di algebra lineare
Chi potrebbe risolvere questo esercizio?
Determinare una base ortogonale del nucleo dell’applicazione lineare f(x,y,z,t) = (x 2y, x + 2z + t) e completarla ad una base ortogonale di R4
Determinare una base ortogonale del nucleo dell’applicazione lineare f(x,y,z,t) = (x 2y, x + 2z + t) e completarla ad una base ortogonale di R4
Risposte
La traccia del tuo esercizio non è completa; supporrò allora che la applicazione lineare sia questa:
$f(x,y,z,t) = (x,2y,x+2z+t)$
Scrivi la matrice associata rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^4$ in partenza e $\mathbb{R}^3$ in arrivo;
$f(1,0,0,0) = (1,0,1)$
$f(0,1,0,0) = (0,2,0)$
$f(0,0,1,0) = (0,0,2)$
$f(0,0,0,1) = (0,0,1)$
La matrice associata la ottieni incolonnando le immagini dei vari vettori!
\(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right)\)
Riducendo la matrice per righe mediante l'algoritmo di Gauss, ottieni:
\(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right)\)
Associato a questo sistema lineare:
\(\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ 2z+t = 0\end{cases} \)
Le cui uniche soluzioni sono tutte e sole della forma $z(0,0,1,-2)$
Per completarla ad una base ortogonale ti basta aggiungere a questa base, il complemento ortogonale di ciascun vettore che vi appartiene in $\mathbb{R}^4$, cioè risolvi questa equazione lineare omogenea:
$(0,0,1,-2)\cdot(x,y,z,t) = 0 \to z - 2t = 0$
Ogni soluzione si scrive nella forma $x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0) + t(0,0,2,1)$
Una base ortogonale di $\mathbb{R}^4$ è allora ad esempio data da $\{(0,0,-1,2),(0,0,2,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}$
$f(x,y,z,t) = (x,2y,x+2z+t)$
Scrivi la matrice associata rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^4$ in partenza e $\mathbb{R}^3$ in arrivo;
$f(1,0,0,0) = (1,0,1)$
$f(0,1,0,0) = (0,2,0)$
$f(0,0,1,0) = (0,0,2)$
$f(0,0,0,1) = (0,0,1)$
La matrice associata la ottieni incolonnando le immagini dei vari vettori!
\(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right)\)
Riducendo la matrice per righe mediante l'algoritmo di Gauss, ottieni:
\(\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right)\)
Associato a questo sistema lineare:
\(\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ 2z+t = 0\end{cases} \)
Le cui uniche soluzioni sono tutte e sole della forma $z(0,0,1,-2)$
Per completarla ad una base ortogonale ti basta aggiungere a questa base, il complemento ortogonale di ciascun vettore che vi appartiene in $\mathbb{R}^4$, cioè risolvi questa equazione lineare omogenea:
$(0,0,1,-2)\cdot(x,y,z,t) = 0 \to z - 2t = 0$
Ogni soluzione si scrive nella forma $x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0) + t(0,0,2,1)$
Una base ortogonale di $\mathbb{R}^4$ è allora ad esempio data da $\{(0,0,-1,2),(0,0,2,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}$
Aah okay ho capito! Quindi le coordinate del vettore generico del kerf sono le soluzioni del sistema lineare omogeneo?
E nel caso in cui mi chiedesse pure la base dell'immagine? Come posso procedere?
Corretto per quanto riguarda il nucleo. Per l'immagine, trova tutte le colonne che non contengono alcun pivot nella matrice ridotta (l'ultima nell'esempio). Allora fatto ciò una base dell'immagine è data da tutte le rimanenti colonne nella matrice di partenza. $\{(1, 0,1), (0,2,0), (0,0,2)\} $ è una base dell'immagine.
Grazie mille davveroo! Sei stato gentilissimo 
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