Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve gente!
Stavo svolgendo un esercizio di geometria ma il risultato che ho ottenuto è un po' bizzarro, il che mi fa intuire che abbia sbagliato qualcosa. Vi riporto il testo e il procedimento che ho adottato, qualsiasi consiglio è ben accetto... ahahah
Determinare le equazioni cartesiane della retta r passante per il punto P=(-1,2,3), parallela al piano alfa: 3x-2y+7z-1=0 e incidente l'asse z.
Ciò che ho pensato è che dato che la retta è parallela al piano alfa, esiste un piano beta ...
Per stabilire se una topologia è più fine, meno fine o non confrontabile con un'altra, quale ragionamento devo fare?
Cioè considero un punto di una topologia e un qualsiasi aperto contenente quel punto, devo controllare che questo aperto è contenuto in qualsiasi aperto del punto con l'altra topologia considerata. Se ciò accade allora la prima topologia è meno fine della seconda. E' giusto così?
E per definire che due topologie non sono confrontabili cosa deve accadere?
Ciao! Se \(\displaystyle U,W \) sono sottospazi di \(\displaystyle V/K \), allora sono sottospazi anche \(\displaystyle U\cap W \) e \(\displaystyle U+W \).
Parto dal primo sottospazio.
i) Chiaramente \(\displaystyle \mathbf{0}_V\in U \) e \(\displaystyle \mathbf{0}_V\in W \) per definizione di sottospazio, quindi sta anche nell'intersezione.
ii) Se \(\displaystyle \mathbf{x}\in U\cap W \), allora \(\displaystyle \mathbf{x}\in U \) e quindi \(\displaystyle a\mathbf{x}\in U \) poiché ...
Ragazzi scusate, molto spesso il mio professore nelle prove d'esame inserisce una domanda tipo: "si discuta la connessione e la compattezza, in R^3 con la topologia naturale, della parte reale della quadrica Q" dove la quadrica Q è una quadrica da studiare in un esercizio precedente.
Quello che vi chiedo è come bisogna ragionare? Devo basarmi principalmente sulla rappresentazione della quadrica? Ci si potrebbe fare una sorta di schema? Cioè per esempio l'iperboloide a punti ellittici (a due ...
Ho dei dubbi su come determinare l'equazione della sfera passante per tre punti.
Sia [tex]x^2+y^2+z^2+a\,x+b\,y+c\,z+d=0[/tex] l'equazione della sfera e supponiamo di avere tre punti $A(2,0,-1)$ $B(3,-2,0)$
$C(3,1,2)$ (I 3 punti li ho inventati)
come determino l'equazione??? Devo imporre il passaggio dei tre punti nell'equazione della sfera??
Allora io so che la retta all'infinito(o retta impropria) è la retta polare di un punto all'infinito(o improprio).
Ora la mia domanda è ma la retta all'infinito contiene anche tutti i punti all'infinito?? ovvero l'unione di tutti i punti all'infinito creano la retta impropria???
Qualcuno che mi apra la mente
Ho un dubbio che non mi permette di ragionare in maniera lucida sugli esercizi di Topologia: gli aperti della topologia naturale di R sono tutti gli intervalli aperti del tipo (a,b) e le loro unioni. Per intuizione direi anche gli intervalli del tipo (x-α,x+α).
Invece gli aperti di R^2 sono i rettangoli del tipo (a,b)x(c,d) giusto? Ma anche i cerchi del tipo C(x,r) con centro x e raggio r sono aperti di x della topologia naturale o sbaglio?
Grazie in anticipo.
Salve a tutti, volevo sottoporvi un esercizio di Geometria sulle quadriche.
Sia $F={Q: a(x^2+xy+y^2)+2bx+2cy+2d-2z=0}$ una famiglia di quadriche. Vi anticipo che se non ho sbagliato nulla tali quadriche sono tutti paraboloidi ellittici $∀ a ε R$ tranne che per $a=0$.
L'aiuto di cui ho bisogno riguarda la domanda: "si determino le eventuali quadriche aventi il piano $z=0$ come piano tangente".
Non avendo nessun punto di tangenza o altro, non so come ragionare. Ho letto che bisogna ...
Ciao ragazzi,
ho alcune difficoltà sui fibrati. C'è qualcuno che può aiutarmi?
il testo che utilizzo è Abate Tovena, Geometria differenziale, capitolo 3. Vorrei chiedervi per prima cosa:
il fibrato banale è \(\displaystyle M \times R^r \). Perché è un fibrato vettoriale?
-secondo la definizione di fibrato vettoriale data dall'A.T., dovrei mostrare che
1) \(\displaystyle M \) e \(\displaystyle M \times R^r \) sono varietà
2) l'applicazione \(\displaystyle \pi : M \times R^r \rightarrow M \) è ...
Ultimo esercizio della giornata
Sia $f:RR^2 rarr RR^3$ l'applicazione lineare che trasforma rispettivamente i vettori
$a_1=((1),(0)), a_2=((0),(1)), a_3=((1),(1))$
nei vettori
$b_1=((1),(0),(1)), b_2=((-1),(0),(1)), b_3=((0),(0),(2))$
Stabilire se $f$ sia o meno iniettiva.
Un'applicazione lineare è iniettisa se e solo se $dim Ker(f)=0$, pertanto calcolo la matrice rappresentativa rispetto le basi canoniche.
I vettori $a_1$ e $a_2$ formano la base caonica di $RR^2$ e $a_3$ è linearmente ...
La matrice estesa iniziale è
(1 -1 1 | 0 )
(1 1 -1 | a)
(1 -3 3 | -a)
(3 -3 3 | a+2)
Quella finale è
(1 -1 1 | 0 )
(0 2 -2 | a)
(0 0 0| a+2)
(0 0 0| 0)
Nel caso in cui a=-2 il sistema è compatibile
Ora chiede di scrivere la varietà lineare delle soluzioni Sb={x appartenente R^3 : Ax=b}=So+c
Cos’è la varietà lineare e come si trova ? E la dimensione si So da dove si ricava?
Ciao a tutti;
vi propongo questo esercizio su cui ho dei dubbi:
Siano $V=CC^2$ e e$k in RR$. Si considerino:
$ v_1=((1),(i)), v_2=((0),(1)), v_3=((k),(1)), w_1=((1),(0)), w_2=((0),(1)), w_3=((k),(1-3i)) in V$
a) Considerato $V$ come spazio vettoriale complesso, esprimere il vettore $v_3$ come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$.
b) Considerato $V$ come spazio vettoriale complesso, discutere esistenza e unicità di un'applicazione lineare $F:V rarr V$ tale che sia simultaneamente ...
Hola, ho il seguente esercizio.
Devo considerare $X=RR^2$ e $T$ la famiglia composta da $emptyset,RR^2$ e al variare di $r>0$ gli insiemi $A_k={(x,y)inRR^2:x^2+y^2<r^2}$
Devo mostrare che $T$ è una topologia su $RR^2$ e trovare la chiusura di $H={(x,y) inRR^2:x*y=1}$
Chiaramente avendo $r,s>0$ se $r>s$ allora $A_s subseteqA_r$
Dunque in generale
$• emptyset,RR^2 inT$
$• A_s capA_r=A_(min{r,s}) inT$
$• bigcup_(j inI_n)A_j=A_(max{r_j}) inT$
Quindi è una topologia. Ora ...
Secondo voi è giusto?
Considera l'equazione $y=-(k+1)x^2+(k-2)x+2k-1$ con k appartenente ad R. Trova per quali valori di k:
a. rappresenta una parabola
b. la parabola passa per il punto P = (1;2)
c. la parabola interseca l'asse x in due punti
d. la parabola è tangente alla retta $y=9/8$
a. Ho trovato il valore di k per cui $a ≠ 0$. Ovvero $k ≠ -1$
b. $2=-k-1+k-2+2k-1 -> 2=2k-4 -> k=3$
c. l'equazione dell'asse x è $y=0$ quindi ho trovato il $Δ$ e scelgo i valori ...
Ciao ragazzi, vorrei gentilmente sapere se la mia risoluzione a questo esercizio è corretta.
Dato uno spazio Euclideo $ X $ ed un vettore $ u != 0 $, definire $ f :X->R $ tramite
$ f(x) = ||x||^2+<x,u> $
e quindi determinare i punti stazionari e stabilirne la natura locale, e possibilmente globale.
Allora, la mia risoluzione è questa
$ grad f(x)v = 2<x,v>+<v,u> $
$ grad f(x) = 2x + u $
Punti stazionari con $ grad f(x) = 0 $, quindi $ 2x + u = 0 $
$ x = -u/2 $
Stabilisco la natura ...
Ciao a tutti, ancora una volta! Non so se esistano limiti al numero di argomenti che posso aprire di fila, oltre a quelli della decenza! Quindi apro l'ultimo e mi fermo.
La proposizione stavolta è: siano \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{u}\in \mathbb{R}^n \). Mostrare che l'insieme dei vettori \(\displaystyle \{\mathbf{w}\}_i\in\mathbb{R}^n \) ortogonali ad \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{u} \) forma un sottospazio $W$.
Allora, iniziamo:
i) \(\displaystyle ...
Ho due rette r: {x-y+z=0; x+y+z=k s: {x+y+z=k; x+z=2k
Vuole sapere se sono parallele, incidenti osghembe.
Allora io ho unito le 4 equazioni in un unico sistema, trasformato in matrice e ridotto a scala
(1 -1 1 | 0)
(0 0 0 | 0)
(0 2 0 | k)
(0 0 0 |3k)
Non so se ho sbagliato qualcosa (potete dirmi come si scrivono qui le matrici?), comunque ora se k=0 allora in rango della matrice senza i termini noti A=2= rango della matrice estesa così le rette sono incidenti
Se k è diverso da zero il ...
Ciao a tutti!
Vorrei un vostro parere su quest'esercizio di geometria dello spazio che ho risolto.
Determinare le equazioni cartesiane del piano passante per la retta r: x=2z-3, y=z+2 e parallelo alla retta s: x-2y+3=0, 2x-y-z=0
Per prima cosa ho portato sia r che s in forma parametrica, a questo punto ho ricavato la direzione di r-> v=(2,1,1) e di s->w=(-2,-1,3) ed il punto P=(-3,2,0) appartenente ad r. Poiché r giace inoltre sul piano, ho dedotto che appartenesse al piano in questione, ...
Ciao a tutti
Ho un dubbio su quest'esercizio di Geometria dello spazio, in particolare non so se l'ho svolto correttamente.
Conoscendo le rette r: x+2y=y-z=0 e s: 2x=x+y+z=0 dovevo determinare le eq. cartesiane della retta passante per il punto P=(1,1,1) e perpendicolare alle rette r ed s.
Considerando che l'equazione cartesiana di una retta la presenta come intersezione di due piani, ho deciso di calcolare i piani alfa e beta ortogonali rispettivamente ad r ed s e mettere a sistema le ...
Salve a tutti, sono nuova
Sto preparando un esame di Geometria e Algebra lineare, ma sono parecchio insicura sulla parte di geometria dello spazio. Ho fatto qualche esercizio, ma non avendo i risultati non so se li ho svolti correttamente, per cui mi farebbe piacere confrontarli con qualcuno un po' più ferrato che magari mi possa spiegare eventualmente dove sbaglio.
Spero che non crei problemi il fatto che posti diversi esercizi, sono quelli che ho fatto finora.
Questo è il primo:
Tra ...
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