Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, domani ho un esame di geometria e non mi è chiara una questione.
Data la quadrica x^2+y^2-z^2+2xz-2xt+6yt-4zt-4t^2=0 determinare il piano tangente la quadrica nel punto P(1,1,1,0).
Ho calcolato che la quadrica è un iperbolide iperbolico e so che generalmente se il punto appartiene alla quadrica calcolare il piano tangente equivale a calcolare il piano polare. Nel caso proposto P non è un punto della quadrica. Come procedo?
Ciao a tutti,
Vorrei sapere che ne pensate di questo esercizio:
Determinare le equazioni cartesiane della retta r passante per il punto P=(3,-4,5) e parallela ai piani:
alfa: 2x+3y-5z+7=0 e beta:5x-y+8z-3=0
Io avevo iniziato a risolverlo in questo modo:
L'equazione parametrica di r imponendo il passaggio per il punto P sarebbe:
x=at+3
r: y=bt-4
z=ct+5
Dato che r è parallela ai due piani, sarà perpendicolare ai loro rispettivi vettori ortogonali. Per cui, se v è il vettore ...
Salve gente!
Stavo svolgendo un esercizio di geometria ma il risultato che ho ottenuto è un po' bizzarro, il che mi fa intuire che abbia sbagliato qualcosa. Vi riporto il testo e il procedimento che ho adottato, qualsiasi consiglio è ben accetto... ahahah
Determinare le equazioni cartesiane della retta r passante per il punto P=(-1,2,3), parallela al piano alfa: 3x-2y+7z-1=0 e incidente l'asse z.
Ciò che ho pensato è che dato che la retta è parallela al piano alfa, esiste un piano beta ...
Per stabilire se una topologia è più fine, meno fine o non confrontabile con un'altra, quale ragionamento devo fare?
Cioè considero un punto di una topologia e un qualsiasi aperto contenente quel punto, devo controllare che questo aperto è contenuto in qualsiasi aperto del punto con l'altra topologia considerata. Se ciò accade allora la prima topologia è meno fine della seconda. E' giusto così?
E per definire che due topologie non sono confrontabili cosa deve accadere?
Ciao! Se \(\displaystyle U,W \) sono sottospazi di \(\displaystyle V/K \), allora sono sottospazi anche \(\displaystyle U\cap W \) e \(\displaystyle U+W \).
Parto dal primo sottospazio.
i) Chiaramente \(\displaystyle \mathbf{0}_V\in U \) e \(\displaystyle \mathbf{0}_V\in W \) per definizione di sottospazio, quindi sta anche nell'intersezione.
ii) Se \(\displaystyle \mathbf{x}\in U\cap W \), allora \(\displaystyle \mathbf{x}\in U \) e quindi \(\displaystyle a\mathbf{x}\in U \) poiché ...
Ragazzi scusate, molto spesso il mio professore nelle prove d'esame inserisce una domanda tipo: "si discuta la connessione e la compattezza, in R^3 con la topologia naturale, della parte reale della quadrica Q" dove la quadrica Q è una quadrica da studiare in un esercizio precedente.
Quello che vi chiedo è come bisogna ragionare? Devo basarmi principalmente sulla rappresentazione della quadrica? Ci si potrebbe fare una sorta di schema? Cioè per esempio l'iperboloide a punti ellittici (a due ...
Ho dei dubbi su come determinare l'equazione della sfera passante per tre punti.
Sia [tex]x^2+y^2+z^2+a\,x+b\,y+c\,z+d=0[/tex] l'equazione della sfera e supponiamo di avere tre punti $A(2,0,-1)$ $B(3,-2,0)$
$C(3,1,2)$ (I 3 punti li ho inventati)
come determino l'equazione??? Devo imporre il passaggio dei tre punti nell'equazione della sfera??
Allora io so che la retta all'infinito(o retta impropria) è la retta polare di un punto all'infinito(o improprio).
Ora la mia domanda è ma la retta all'infinito contiene anche tutti i punti all'infinito?? ovvero l'unione di tutti i punti all'infinito creano la retta impropria???
Qualcuno che mi apra la mente
Ho un dubbio che non mi permette di ragionare in maniera lucida sugli esercizi di Topologia: gli aperti della topologia naturale di R sono tutti gli intervalli aperti del tipo (a,b) e le loro unioni. Per intuizione direi anche gli intervalli del tipo (x-α,x+α).
Invece gli aperti di R^2 sono i rettangoli del tipo (a,b)x(c,d) giusto? Ma anche i cerchi del tipo C(x,r) con centro x e raggio r sono aperti di x della topologia naturale o sbaglio?
Grazie in anticipo.
Salve a tutti, volevo sottoporvi un esercizio di Geometria sulle quadriche.
Sia $F={Q: a(x^2+xy+y^2)+2bx+2cy+2d-2z=0}$ una famiglia di quadriche. Vi anticipo che se non ho sbagliato nulla tali quadriche sono tutti paraboloidi ellittici $∀ a ε R$ tranne che per $a=0$.
L'aiuto di cui ho bisogno riguarda la domanda: "si determino le eventuali quadriche aventi il piano $z=0$ come piano tangente".
Non avendo nessun punto di tangenza o altro, non so come ragionare. Ho letto che bisogna ...
Ciao ragazzi,
ho alcune difficoltà sui fibrati. C'è qualcuno che può aiutarmi?
il testo che utilizzo è Abate Tovena, Geometria differenziale, capitolo 3. Vorrei chiedervi per prima cosa:
il fibrato banale è \(\displaystyle M \times R^r \). Perché è un fibrato vettoriale?
-secondo la definizione di fibrato vettoriale data dall'A.T., dovrei mostrare che
1) \(\displaystyle M \) e \(\displaystyle M \times R^r \) sono varietà
2) l'applicazione \(\displaystyle \pi : M \times R^r \rightarrow M \) è ...
Ultimo esercizio della giornata
Sia $f:RR^2 rarr RR^3$ l'applicazione lineare che trasforma rispettivamente i vettori
$a_1=((1),(0)), a_2=((0),(1)), a_3=((1),(1))$
nei vettori
$b_1=((1),(0),(1)), b_2=((-1),(0),(1)), b_3=((0),(0),(2))$
Stabilire se $f$ sia o meno iniettiva.
Un'applicazione lineare è iniettisa se e solo se $dim Ker(f)=0$, pertanto calcolo la matrice rappresentativa rispetto le basi canoniche.
I vettori $a_1$ e $a_2$ formano la base caonica di $RR^2$ e $a_3$ è linearmente ...
La matrice estesa iniziale è
(1 -1 1 | 0 )
(1 1 -1 | a)
(1 -3 3 | -a)
(3 -3 3 | a+2)
Quella finale è
(1 -1 1 | 0 )
(0 2 -2 | a)
(0 0 0| a+2)
(0 0 0| 0)
Nel caso in cui a=-2 il sistema è compatibile
Ora chiede di scrivere la varietà lineare delle soluzioni Sb={x appartenente R^3 : Ax=b}=So+c
Cos’è la varietà lineare e come si trova ? E la dimensione si So da dove si ricava?
Ciao a tutti;
vi propongo questo esercizio su cui ho dei dubbi:
Siano $V=CC^2$ e e$k in RR$. Si considerino:
$ v_1=((1),(i)), v_2=((0),(1)), v_3=((k),(1)), w_1=((1),(0)), w_2=((0),(1)), w_3=((k),(1-3i)) in V$
a) Considerato $V$ come spazio vettoriale complesso, esprimere il vettore $v_3$ come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$.
b) Considerato $V$ come spazio vettoriale complesso, discutere esistenza e unicità di un'applicazione lineare $F:V rarr V$ tale che sia simultaneamente ...
Hola, ho il seguente esercizio.
Devo considerare $X=RR^2$ e $T$ la famiglia composta da $emptyset,RR^2$ e al variare di $r>0$ gli insiemi $A_k={(x,y)inRR^2:x^2+y^2<r^2}$
Devo mostrare che $T$ è una topologia su $RR^2$ e trovare la chiusura di $H={(x,y) inRR^2:x*y=1}$
Chiaramente avendo $r,s>0$ se $r>s$ allora $A_s subseteqA_r$
Dunque in generale
$• emptyset,RR^2 inT$
$• A_s capA_r=A_(min{r,s}) inT$
$• bigcup_(j inI_n)A_j=A_(max{r_j}) inT$
Quindi è una topologia. Ora ...
Secondo voi è giusto?
Considera l'equazione $y=-(k+1)x^2+(k-2)x+2k-1$ con k appartenente ad R. Trova per quali valori di k:
a. rappresenta una parabola
b. la parabola passa per il punto P = (1;2)
c. la parabola interseca l'asse x in due punti
d. la parabola è tangente alla retta $y=9/8$
a. Ho trovato il valore di k per cui $a ≠ 0$. Ovvero $k ≠ -1$
b. $2=-k-1+k-2+2k-1 -> 2=2k-4 -> k=3$
c. l'equazione dell'asse x è $y=0$ quindi ho trovato il $Δ$ e scelgo i valori ...
Ciao ragazzi, vorrei gentilmente sapere se la mia risoluzione a questo esercizio è corretta.
Dato uno spazio Euclideo $ X $ ed un vettore $ u != 0 $, definire $ f :X->R $ tramite
$ f(x) = ||x||^2+<x,u> $
e quindi determinare i punti stazionari e stabilirne la natura locale, e possibilmente globale.
Allora, la mia risoluzione è questa
$ grad f(x)v = 2<x,v>+<v,u> $
$ grad f(x) = 2x + u $
Punti stazionari con $ grad f(x) = 0 $, quindi $ 2x + u = 0 $
$ x = -u/2 $
Stabilisco la natura ...
Ciao a tutti, ancora una volta! Non so se esistano limiti al numero di argomenti che posso aprire di fila, oltre a quelli della decenza! Quindi apro l'ultimo e mi fermo.
La proposizione stavolta è: siano \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{u}\in \mathbb{R}^n \). Mostrare che l'insieme dei vettori \(\displaystyle \{\mathbf{w}\}_i\in\mathbb{R}^n \) ortogonali ad \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{u} \) forma un sottospazio $W$.
Allora, iniziamo:
i) \(\displaystyle ...
Ho due rette r: {x-y+z=0; x+y+z=k s: {x+y+z=k; x+z=2k
Vuole sapere se sono parallele, incidenti osghembe.
Allora io ho unito le 4 equazioni in un unico sistema, trasformato in matrice e ridotto a scala
(1 -1 1 | 0)
(0 0 0 | 0)
(0 2 0 | k)
(0 0 0 |3k)
Non so se ho sbagliato qualcosa (potete dirmi come si scrivono qui le matrici?), comunque ora se k=0 allora in rango della matrice senza i termini noti A=2= rango della matrice estesa così le rette sono incidenti
Se k è diverso da zero il ...
Ciao a tutti!
Vorrei un vostro parere su quest'esercizio di geometria dello spazio che ho risolto.
Determinare le equazioni cartesiane del piano passante per la retta r: x=2z-3, y=z+2 e parallelo alla retta s: x-2y+3=0, 2x-y-z=0
Per prima cosa ho portato sia r che s in forma parametrica, a questo punto ho ricavato la direzione di r-> v=(2,1,1) e di s->w=(-2,-1,3) ed il punto P=(-3,2,0) appartenente ad r. Poiché r giace inoltre sul piano, ho dedotto che appartenesse al piano in questione, ...
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