Sistema lineare

[Beatrice filippelli]

La matrice estesa iniziale è
(1 -1 1 | 0 )
(1 1 -1 | a)
(1 -3 3 | -a)
(3 -3 3 | a+2)
Quella finale è
(1 -1 1 | 0 )
(0 2 -2 | a)
(0 0 0| a+2)
(0 0 0| 0)
Nel caso in cui a=-2 il sistema è compatibile
Ora chiede di scrivere la varietà lineare delle soluzioni Sb={x appartenente R^3 : Ax=b}=So+c
Cos’è la varietà lineare e come si trova ? E la dimensione si So da dove si ricava?

[Magma1]

"Beatrice filippelli":La matrice estesa iniziale è

$( (1, -1 , 1 ,| 0 ), (1 , 1, -1, | a),(1 , -3 , 3 ,| -a),(3 , -3, 3, | a+2))$

Quella finale è

$((1 ,-1 ,1, | 0 ),(0 , 2 ,-2 ,| a),(0 ,0 , 0,| a+2),(0 , 0, 0,| 0))$

Nel caso in cui$=-2$ il sistema è compatibile.

Ora chiede di scrivere la varietà lineare delle soluzioni $S_b={x in RR^3 : Ax=b}=S_o +c$
Cos’è la varietà lineare e come si trova ? E la dimensione si $S_o_$ da dove si ricava?

Per $a=-2$ si ha

$((1 ,-1 ,1, | 0 ),(0 , 1 ,-1 ,| -1),(0 ,0 , 0,|0),(0 , 0, 0,| 0))$

Poiché le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo possono essere espresse come somma delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato e della soluzione particolare del sistema non lineare escluse le precedenti; è più difficile spiegarlo che intuirlo: in sostanza hai che

$S_o:={x in RR^3 : Ax=bar(0)}=mathcal(L){((0),(1),(1))}$

mentre

$c=((0),(-1),(0))$

per cui

$S_b=((0),(1),(1))+((0),(-1),(0))$

La dimensione di $S_o$ corrisponde al numero di soluzioni del sistema lineare omogeneo. In questo caso è un sistema di $2$ equazioni in $3$ incognite, quindi si hanno $oo^(3-2)$ soluzioni; ovvero $dim(S_o)=1$.

[Beatrice filippelli]

Grazie