Classificazione topologica delle quadriche

[marco.pica.92]

Ragazzi scusate, molto spesso il mio professore nelle prove d'esame inserisce una domanda tipo: "si discuta la connessione e la compattezza, in R^3 con la topologia naturale, della parte reale della quadrica Q" dove la quadrica Q è una quadrica da studiare in un esercizio precedente.
Quello che vi chiedo è come bisogna ragionare? Devo basarmi principalmente sulla rappresentazione della quadrica? Ci si potrebbe fare una sorta di schema? Cioè per esempio l'iperboloide a punti ellittici (a due falde) sembra decisamente non connesso dalla sua rappresentazione in R^3 ma non saprei...
Grazie mille per le eventuali risposte.

[Ernesto011]

Dato che le quadriche sono chiuse (controimmagine dello $0$ di funzioni continue) allora la quadrica è compatta se e solo se è limitata. Per la connessione intuitivamente basta che vedi da quanti "pezzi" è fatta la quadrica, se è tutto un pezzo è connesso altrimenti no. L'iperboloide a due falde infatti non è connesso. E si, potresti fare uno schema volendo

[marco.pica.92]

Ok gentilissimo, grazie.

[marco.pica.92]

Cilindro: connesso, non compatto;
Cono: connesso, non compatto;
Ellissoide: connesso, compatto;
Paraboloide iperbolico: connesso, non compatto;
Paraboloide ellittico: connesso, compatto;
Iperboloide iperbolico (a una falda): connesso, non compatto;
Iperboloide ellittico (a due falde): non connesso, compatto.

E' giusta questa classificazione? Se c'è qualcuno che la può controllare e dirmi se ho sbagliato qualcosa sarei molto contento. Grazie

[killing_buddha]

Ma come si fa a partire dall'equazione, o dalla matrice a determinare quale quadrica è connessa o compatta?