Retta parallela a due piani

[Martina_31]

Ciao a tutti,
Vorrei sapere che ne pensate di questo esercizio:

Determinare le equazioni cartesiane della retta r passante per il punto P=(3,-4,5) e parallela ai piani:
alfa: 2x+3y-5z+7=0 e beta:5x-y+8z-3=0

Io avevo iniziato a risolverlo in questo modo:
L'equazione parametrica di r imponendo il passaggio per il punto P sarebbe:
x=at+3
r: y=bt-4
z=ct+5

Dato che r è parallela ai due piani, sarà perpendicolare ai loro rispettivi vettori ortogonali. Per cui, se v è il vettore ortogonale al piano alfa e w è il vettore ortogonale a beta, mettendo a sistema il prodotto scalare di v per (a,b,c) e il prodotto scalare di w per (a,b,c), ottengo:
2a+3b-5c=0 da cui a=19/17 c
5a-b+8c=0 b=41/17 c

A questo punto ho sostituito nell'equazione parametrica i risultati trovati, ottenendo:
x=-19/17ct+3
r: y=41/17ct-4
z=ct+5

Sostituendo poi in questo modo: ct=z-5
x=-19/17(z-5) +3
r: y=41/17 (z-5)-4

x=-19/17z+ 146/17
r: y=41/17 z-273/17

[anonymous_0b37e9]

Il tuo procedimento, nella migliore delle ipotesi, mi sembra un po' troppo involuto. Ad ogni modo, premesso che i due piani si intersecano, per determinare un vettore libero parallelo alla direzione della retta intersezione, è sufficiente calcolare il prodotto vettoriale di due vettori liberi rispettivamente normali ai due piani:

$[2x+3y-5z+7=0] rarr [vec(n_1)=2veci+3vecj-5veck]$

$[5x-y+8z-3=0] rarr [vec(n_2)=5veci-vecj+8veck]$

$|(veci,vecj,veck),(2,3,-5),(5,-1,8)|=19veci-41vecj-17veck$

In definitiva, essendo la retta richiesta parallela alla retta intersezione di cui sopra:

$[(x-3)/19=(y+4)/-41=(z-5)/-17] rarr \{(41x+19y-47=0),(17x+19z-146=0):}$

[Martina_31]

Capisco, hai ragione. Cercherò di far più pratica con problemi di questo tipo, grazie mille per la disponibilità!