Retta all'infinito

[lepre561]

Allora io so che la retta all'infinito(o retta impropria) è la retta polare di un punto all'infinito(o improprio).

Ora la mia domanda è ma la retta all'infinito contiene anche tutti i punti all'infinito?? ovvero l'unione di tutti i punti all'infinito creano la retta impropria???


Qualcuno che mi apra la mente

[spugna2]

La retta all'infinito dovrebbe essere l'insieme dei punti all'infinito per definizione: dato un sistema di coordinate omogenee, un generico punto $[x,y,t] $ corrisponde al punto $(x/t, y/t) $ del piano cartesiano se $t ne 0$, altrimenti diciamo che è un punto all'infinito. Ora, una retta è definita da un'equazione del tipo $ax+by+ct=0$ con $a,b,c $ non tutti nulli, ma allora anche $t=0$ definisce una retta, che è proprio l'insieme dei punti all'infinito, mentre qualsiasi altra equazione lineare definisce una retta del piano cartesiano estesa con un (unico) punto all'infinito.

La definizione che hai dato tu non mi torna perché per definire la polarità tra punti e rette avresti bisogno innanzitutto di una conica non degenere (ammesso che con "polarità" intendiamo la stessa cosa). A questo punto puoi osservare che il polare della retta all'infinito è un punto all'infinito solo se la conica (vista nel piano cartesiano) è una parabola, mentre in caso contrario è il centro della conica.

[lepre561]

"spugna":La retta all'infinito dovrebbe essere l'insieme dei punti all'infinito per definizione: dato un sistema di coordinate omogenee, un generico punto $[x,y,t] $ corrisponde al punto $(x/t, y/t) $ del piano cartesiano se $t ne 0$, altrimenti diciamo che è un punto all'infinito. Ora, una retta è definita da un'equazione del tipo $ax+by+ct=0$ con $a,b,c $ non tutti nulli, ma allora anche $t=0$ definisce una retta, che è proprio l'insieme dei punti all'infinito, mentre qualsiasi altra equazione lineare definisce una retta del piano cartesiano estesa con un (unico) punto all'infinito.

La definizione che hai dato tu non mi torna perché per definire la polarità tra punti e rette avresti bisogno innanzitutto di una conica non degenere (ammesso che con "polarità" intendiamo la stessa cosa). A questo punto puoi osservare che il polare della retta all'infinito è un punto all'infinito solo se la conica (vista nel piano cartesiano) è una parabola, mentre in caso contrario è il centro della conica.

ho un piccolo dubbio sul punto improprio... ora scrivo cosa ho capito

Un punto improprio è una coordinata omogenea che ha come terza componente 0. Il punto improprio serve a dare direzione comune ad un fascio di rette parallele.
Dunque il punto all'infinito è il punto dove si incontrano le rette parallele

Va bene??