Retta parallela ad un piano ed incidente una retta
Salve gente!
Stavo svolgendo un esercizio di geometria ma il risultato che ho ottenuto è un po' bizzarro, il che mi fa intuire che abbia sbagliato qualcosa. Vi riporto il testo e il procedimento che ho adottato, qualsiasi consiglio è ben accetto... ahahah
Determinare le equazioni cartesiane della retta r passante per il punto P=(-1,2,3), parallela al piano alfa: 3x-2y+7z-1=0 e incidente l'asse z.
Ciò che ho pensato è che dato che la retta è parallela al piano alfa, esiste un piano beta parallelo ad alfa che contenga r. E poiché r interseca l''asse z in un punto Q, questo punto deve appartenere a beta. E dunque per trovare Q si potrebbero mettere a sistema l'equazione dell'asse z e quella di alfa.
Quindi ho portato alla forma parametrica l'asse z, trovando un vettore direzione v=(0,0,1) e un punto A=(0,0,0)
Da cui w=P-A=(-1,2,3)
Il prodotto vettoriale dei due vettori dovrebbe dunque restituire un vettore ortogonale al piano, infatti ottengo: -j-2i
Ho ricavato a questo punto il termine noto del piano, che in questo caso è 0, ottenendo l'equazione del piano beta:
beta: 2x+y=0
Mettendo a sistema quindi l'asse z ed il piano beta ho ottenuto il punto Q=(0,0,h) e ho calcolato
u=Q-P= (1,-2, h-3)
che ho sostituito nell'equazione parametrica:
x=t-1
r: y=-2t+2
z= (h-3)t+3
Che passando alla forma cartesiana diventa:
y=-2x
r: z=(h-3)x+h
Ora, mi sembra piuttosto insolita come soluzione per via del parametro h, qualche idea su dove possa essere l'errore?
Stavo svolgendo un esercizio di geometria ma il risultato che ho ottenuto è un po' bizzarro, il che mi fa intuire che abbia sbagliato qualcosa. Vi riporto il testo e il procedimento che ho adottato, qualsiasi consiglio è ben accetto... ahahah
Determinare le equazioni cartesiane della retta r passante per il punto P=(-1,2,3), parallela al piano alfa: 3x-2y+7z-1=0 e incidente l'asse z.
Ciò che ho pensato è che dato che la retta è parallela al piano alfa, esiste un piano beta parallelo ad alfa che contenga r. E poiché r interseca l''asse z in un punto Q, questo punto deve appartenere a beta. E dunque per trovare Q si potrebbero mettere a sistema l'equazione dell'asse z e quella di alfa.
Quindi ho portato alla forma parametrica l'asse z, trovando un vettore direzione v=(0,0,1) e un punto A=(0,0,0)
Da cui w=P-A=(-1,2,3)
Il prodotto vettoriale dei due vettori dovrebbe dunque restituire un vettore ortogonale al piano, infatti ottengo: -j-2i
Ho ricavato a questo punto il termine noto del piano, che in questo caso è 0, ottenendo l'equazione del piano beta:
beta: 2x+y=0
Mettendo a sistema quindi l'asse z ed il piano beta ho ottenuto il punto Q=(0,0,h) e ho calcolato
u=Q-P= (1,-2, h-3)
che ho sostituito nell'equazione parametrica:
x=t-1
r: y=-2t+2
z= (h-3)t+3
Che passando alla forma cartesiana diventa:
y=-2x
r: z=(h-3)x+h
Ora, mi sembra piuttosto insolita come soluzione per via del parametro h, qualche idea su dove possa essere l'errore?
Risposte
Io farei come segue.
Un punto generico dell'asse $z$ è $ A(0,0,a)$. Il vettore direzionale della retta $AP$ sarà allora $(1,-2,a-3)$
Quest'ultimo vettore deve essere parallelo al piano $\alpha$ ovvero perpendicolare al vettore direzionale
$(3,-2,7)$ della normale a detto piano . Pertanto si ha la relazione:
$(1,-2,a-3).(3,-2,7)=0$
Da cui l'equazione :
$3+4+7a-21=0$ da cui $a=2$
Ne segue che la retta richiesta è quella passante per i punti $(0,0,2),(-1,2,3)$ ovvero la retta di equazioni ;
$x=t,y=-2t,z=-t+2$
da cui, volendo, si possono dedurre le corrispondenti equazioni cartesiane.
Un punto generico dell'asse $z$ è $ A(0,0,a)$. Il vettore direzionale della retta $AP$ sarà allora $(1,-2,a-3)$
Quest'ultimo vettore deve essere parallelo al piano $\alpha$ ovvero perpendicolare al vettore direzionale
$(3,-2,7)$ della normale a detto piano . Pertanto si ha la relazione:
$(1,-2,a-3).(3,-2,7)=0$
Da cui l'equazione :
$3+4+7a-21=0$ da cui $a=2$
Ne segue che la retta richiesta è quella passante per i punti $(0,0,2),(-1,2,3)$ ovvero la retta di equazioni ;
$x=t,y=-2t,z=-t+2$
da cui, volendo, si possono dedurre le corrispondenti equazioni cartesiane.
Gasp hai proprio ragione, grazie mille! 
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