Sottospazio dei vettori ortogonali
Ciao a tutti, ancora una volta! Non so se esistano limiti al numero di argomenti che posso aprire di fila, oltre a quelli della decenza! Quindi apro l'ultimo e mi fermo.
La proposizione stavolta è: siano \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{u}\in \mathbb{R}^n \). Mostrare che l'insieme dei vettori \(\displaystyle \{\mathbf{w}\}_i\in\mathbb{R}^n \) ortogonali ad \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{u} \) forma un sottospazio $W$.
Allora, iniziamo:
i) \(\displaystyle ((\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2), \mathbf{v})=((\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2), \mathbf{u})=0 \) poiché per esempio \(\displaystyle ((\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2), \mathbf{v})=(\mathbf{w}_1, \mathbf{v})+(\mathbf{w}_2, \mathbf{v})=0+0=0 \).
ii) Moltiplicare per uno scalare non cambia il fatto che i prodotto scalari danno ancora $0$!
iii) \(\displaystyle \mathbf{0}\in W \), poiché per definizione di prodotto scalare \(\displaystyle \mathbf{0} \) è ortogonale ad entrambi i vettori! (a tutti in realtà se non mi sbaglio).
Dite che va bene? Ho l'impressione però che le cose funzionino bene anche scegliendo come sottospazio i vettori ortogonali ad unico vettore. Mi sto perdendo qualcosa?
La proposizione stavolta è: siano \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{u}\in \mathbb{R}^n \). Mostrare che l'insieme dei vettori \(\displaystyle \{\mathbf{w}\}_i\in\mathbb{R}^n \) ortogonali ad \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{u} \) forma un sottospazio $W$.
Allora, iniziamo:
i) \(\displaystyle ((\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2), \mathbf{v})=((\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2), \mathbf{u})=0 \) poiché per esempio \(\displaystyle ((\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2), \mathbf{v})=(\mathbf{w}_1, \mathbf{v})+(\mathbf{w}_2, \mathbf{v})=0+0=0 \).
ii) Moltiplicare per uno scalare non cambia il fatto che i prodotto scalari danno ancora $0$!
iii) \(\displaystyle \mathbf{0}\in W \), poiché per definizione di prodotto scalare \(\displaystyle \mathbf{0} \) è ortogonale ad entrambi i vettori! (a tutti in realtà se non mi sbaglio).
Dite che va bene? Ho l'impressione però che le cose funzionino bene anche scegliendo come sottospazio i vettori ortogonali ad unico vettore. Mi sto perdendo qualcosa?
Risposte
SI è giusto, e funzionerebbe anche con un solo vettore.
Perfetto, thanks!
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