Esercizio Piano passante per un punto perp ad un piano e parallelo ad una retta

[peppe_sic]

Dato il piano $\pi = x-y+z=0$ e il punto $P(0,1,1)$ e la retta $r=\{(x = z),(y = z):}$
Determinare il piano $\pi'$ passante per $P$ perpendicolare ad $\pi$ e parallelo alla retta $\r$

Svolgimento:

parametri direttori piano $v_pi= (1, -1, 1)$
parametri direttori retta $v_r= (1, 1, 1)$

Eq. generica del piano:
$\gamma = ax+by+cz+d=0$
parametri direttori piano generico $v_gamma= (a, b, c)$

Piano passante per $P$ $->$ $b+c+d=0$

$\pi'$ $\bot$ $\pi$ $->$ $v_pi' *v_pi=$ $(a, b, c)(1, -1, 1) = (a, -b, c)$

$\pi'$ $\bot$ $r$ $->$ $v_pi' *r=$ $(a, b, c)(1, 1, 1) = (a, b, c)$

$\{(b+c+d=0),(a-b+c=0),(a+b+c=0):}$ $->$ $\{(d=-c),(a=-c),(b=0):}$


Il piano cercato è:
$\pi' = ax+by+cz+d=0$
$->$ $\pi' = -cx+cz-c=0$ $->$ $\pi' = -x+z-1=0$

qualcuno mi può confermare se il procedimento è giusto, o ci sono errori.

[weblan]

Il piano cercato deve contenere $P=(0,1,1)$ e deve contenere le direzioni $v_pi=(1,-1,1)$ e $v_r=(1,1,1)$.

$pi':|(x,y-1,z-1),(1,-1,1),(1,1,1)|=0=>pi':x-z=-1$