Matrice associota all'applicazione lineare.

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2 mar 2018, 19:12

Buonasera,

In $\displaystyle \mathbb{R^4} $ siano dati i vettori:
$\displaystyle \mathbf{u_1}=(1,-2,0,4) $
$\displaystyle \mathbf{u_2}=(-1,1,1,0) $
$\displaystyle \mathbf{u_3}=(0,0,1,2) $

1) Verificare che i vettori $\displaystyle \mathbf{u_1} , \mathbf{u_2} , \mathbf{u_3} $ sono linearmente indipendenti e trovare una di $\displaystyle \mathbb{R^4} $

2) Rispetto alle basi canoniche di $\displaystyle \mathbb{R^4} $ e $\displaystyle \mathbb{R^3} $, scrivere la matrice associata all'applicazione lineare non nulla di $\displaystyle \mathbb{R^4} $ in $\displaystyle \mathbb{R^3} $ tale che:

$\displaystyle I=\begin{cases} f(\mathbf{u_1})=\mathbf{0} \\ f(\mathbf{u_2})=\mathbf{0} \\ f(\mathbf{u_3})=\mathbf{0} \end{cases} $

Allora la prima parte ci sono, cioè ho messo in colonna i vettori proposti dal testo in una generica matrice $\displaystyle A $ e mi sono calcolato il rango, di cui è tre. Pertanto i vettori proposti sono linearmente indipendenti.

Invece per la seconda domanda della 1) posso applicare il teorema del completamento di una base, quindi una generica base di $\displaystyle \mathbb{R^4} $ è $\displaystyle B=\{\mathbf{u_1} , \mathbf{u_2} , \mathbf{u_3}, \mathbf{e_4} \} $, dove $\displaystyle \mathbf{e_4}=(0,0,0,1) $.
Quindi la prima è fatta.

Invece per la seconda mi chiede di determinare una matrice $\displaystyle M $ rispetto alle basi canoniche di $\displaystyle \mathbb{R^4} $ e $\displaystyle \mathbb{R^3} $ associata all'applicazione lineare $\displaystyle f:\mathbb{R^4} \to \mathbb{R^3} $.

La mia idea per lo svolgimento è:
C : $\displaystyle \mathbf{e_1}=x \mathbf{u_1}+y \mathbf{u_2}+z \mathbf{u_3}+t \mathbf{e_4} $.

Dopo aver svolto la combinazione lineare C, sfrutto la linearità di $\displaystyle f $ e l'identità $\displaystyle I $ proposta dal testo, mi ritrovo con :

$\displaystyle f(\mathbf{e_1})=tf(\mathbf{e_4}) $.

Ovviamente questo si ripete per le rimanenti combinazioni. C'è qualcosa che non mi torna