Parentesi di Lie per i campi vettoriale

[Pigreco2016]

Ho questo esercizio:
Siano $X=-y\partial_x + x\partial_y$ e $Y=x \partial_x + y \partial_y$ campi di vettori su $\mathbb{R^2}$
Calcolare $[X,Y]$.
Potreste dirmi come impostare tale esercizio per piacere? Non so neanche da dove iniziare

[Ernesto011]

Beh puoi sicuramente applicare la linearità.
E ottieni $[X,Y]=[-y\partial_x,x\partial_x]+[-y\partial_x,y\partial_y]+[x\partial_y,x\partial_x]+[x\partial_y,y\partial_y]$
Poi per risolvere questi, "porti fuori" le funzioni (c'è una formula per farlo) e ricordi che $[partial_{x_k},partial_{x_j}]=0$

[Pigreco2016]

So che questo bracket ha delle proprietà. Però vorrei calcolarlo utilizzando proprio la definizione di bracket per campi vettoriali (e qua vengono i miei problemi perché su internet trovo una marea di cose che mi confondono). In particolare vorrei dimostare che il bracket di campi vettoriali coordinati (cioè quello che mi hai detto di usare tu) su una varietà n-dimensionale riemanniana è nullo.

[killing_buddha]

C'e' una formula qui https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_brack ... oordinates basta applicarla facendo qualche derivata e stando attenti agli indici

[dissonance]

"Pigreco2016":In particolare vorrei dimostare che il bracket di campi vettoriali coordinati (cioè quello che mi hai detto di usare tu) su una varietà n-dimensionale riemanniana è nullo.

Questo DEVE esserti facile. Si tratta semplicemente del teorema di Schwarz sulle derivate seconde. Non ti serve a nulla la struttura Riemanniana.