Somme dirette
Sia \(\displaystyle V=\mathbb{R}^2 \), $W$ il sottospazio generato da $(2,1)$ e $U$ quello generato da $(0,1)$. Mostrare che \(\displaystyle \mathbb{R}^2=U\oplus W \). Mostrare inoltre che \(\displaystyle \mathbb{R}^2=U'\oplus W \) se \(\displaystyle U' \) è generato da \(\displaystyle (1,1) \).
Intanto è chiaro che \(\displaystyle (2,1) \) è l.i. rispetto agli altri due vettori, quindi \(\displaystyle U\cap W=U'\cap W=\mathbf{0} \). Inoltre il generico vettore \(\displaystyle \mathbf{v}\in \mathbb{R}^2 \) è individuato ad esempio dalla base canonica \(\displaystyle \mathcal{E}=\{(1,0),(0,1)\} \).
Quindi \(\displaystyle \alpha(2,1)+\beta(0,1)=\gamma(1,0)+\delta(0,1)=\mathbf{v} \) ovvero \[\displaystyle \mathbf{0}=\begin{bmatrix} 2\alpha-\gamma \\ \alpha+\beta-\delta \end{bmatrix} \] e analogamente considerando \(\displaystyle \alpha(2,1)+\beta(1,1)=\gamma(1,0)+\delta(0,1)=\mathbf{v} \) si avrebbe \[\displaystyle \mathbf{0}=\begin{bmatrix} 2\alpha-\beta-\gamma \\ \alpha+\beta-\delta \end{bmatrix} \] Quindi basta prendere rispettivamente \(\displaystyle \alpha=\gamma/2 \) e \(\displaystyle \beta=\delta-\gamma/2 \) nel primo caso, \(\displaystyle \alpha=(\gamma+\delta)/3 \) e \(\displaystyle \beta=2\delta/3-\gamma \) nel secondo.
La mia domanda: questo basta a mostrare la richiesta dell'esercizio? Credo di sì, perché se le equazioni vettoriali non avessero ammesso soluzioni allora sarebbero sorti dei problemi, ma essendo risolvibili dovrebbe essere a posto. E' un metodo "standard" per svolgere questo tipo di esercizi, o ce ne sono altri più assodati/utili/veloci?
Intanto è chiaro che \(\displaystyle (2,1) \) è l.i. rispetto agli altri due vettori, quindi \(\displaystyle U\cap W=U'\cap W=\mathbf{0} \). Inoltre il generico vettore \(\displaystyle \mathbf{v}\in \mathbb{R}^2 \) è individuato ad esempio dalla base canonica \(\displaystyle \mathcal{E}=\{(1,0),(0,1)\} \).
Quindi \(\displaystyle \alpha(2,1)+\beta(0,1)=\gamma(1,0)+\delta(0,1)=\mathbf{v} \) ovvero \[\displaystyle \mathbf{0}=\begin{bmatrix} 2\alpha-\gamma \\ \alpha+\beta-\delta \end{bmatrix} \] e analogamente considerando \(\displaystyle \alpha(2,1)+\beta(1,1)=\gamma(1,0)+\delta(0,1)=\mathbf{v} \) si avrebbe \[\displaystyle \mathbf{0}=\begin{bmatrix} 2\alpha-\beta-\gamma \\ \alpha+\beta-\delta \end{bmatrix} \] Quindi basta prendere rispettivamente \(\displaystyle \alpha=\gamma/2 \) e \(\displaystyle \beta=\delta-\gamma/2 \) nel primo caso, \(\displaystyle \alpha=(\gamma+\delta)/3 \) e \(\displaystyle \beta=2\delta/3-\gamma \) nel secondo.
La mia domanda: questo basta a mostrare la richiesta dell'esercizio? Credo di sì, perché se le equazioni vettoriali non avessero ammesso soluzioni allora sarebbero sorti dei problemi, ma essendo risolvibili dovrebbe essere a posto. E' un metodo "standard" per svolgere questo tipo di esercizi, o ce ne sono altri più assodati/utili/veloci?
Risposte
Cosa significa "l.i. rispetto ad un altro vettore"?
Comunque mi pare che tu ti destreggi bene. Non hai bisogno di chiedere, per questo esercizio.
Comunque mi pare che tu ti destreggi bene. Non hai bisogno di chiedere, per questo esercizio.
Intendevo dire che sia $(2,1), (0,1)$ che $(2,1), (1,1)$ sono linearmente indipendenti. Ho cercato di abbreviarlo ma mi sono espresso male 
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