Basi e somma diretta
Ciao a tutti! Siano \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{u}\in\mathbb{R}^2 \) vettori non nulli. Mostrare che se non esiste alcun numero \(\displaystyle c \) tale che \(\displaystyle c\mathbf{v}=\mathbf{u} \) allora \(\displaystyle \mathcal{B}=\{\mathbf{u},\mathbf{v}\} \) è una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). Mostrare inoltre che \(\displaystyle \mathbb{R}^n=V\oplus U \), dove $V$ e $U$ sono rispettivamente i sottospazi generati da \(\displaystyle \mathbf{v} \) e da \(\displaystyle \mathbf{u} \).
Allora, parto dal primo punto. Siccome \(\displaystyle \mathcal{B} \) contiene due elementi, se essi sono l.i. allora si ha una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). La generica combinazione lineare dei due vettori è \[\displaystyle \alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{u}=\mathbf{0} \] che implica per una dimostrazione precedente che \(\displaystyle \alpha\mathbf{v}=-\beta\mathbf{u} \) ovvero \(\displaystyle -\frac{\alpha}{\beta}\mathbf{v}=\mathbf{u} \). Prendo \(\displaystyle c=-\frac{\alpha}{\beta} \): se questo numero esiste allora i vettori sono l.d. e quindi non formano una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \).
Per il secondo ho un dubbio: cosa si intende con $V$ e $U$ esattamente? Ad esempio $V$ sarebbe fatto dai vettori della forma \(\displaystyle \alpha\mathbf{v} \)? In tal caso è chiaro che \(\displaystyle \mathbb{R}^2=V+U=\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{u} \) e \(\displaystyle V\cap U=\mathbf{0} \) poiché per il primo punto deve essere \(\displaystyle \alpha\mathbf{v}\ne\beta\mathbf{u} \), altrimenti basterebbe scegliere \(\displaystyle c=\frac{\alpha}{\beta} \) affinché \(\displaystyle \mathcal{B} \) non sia una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \).
Questa dimostrazione è un filo più elaborata delle precedenti, la vostra opinione è davvero preziosa! Grazie in anticipo.
Allora, parto dal primo punto. Siccome \(\displaystyle \mathcal{B} \) contiene due elementi, se essi sono l.i. allora si ha una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). La generica combinazione lineare dei due vettori è \[\displaystyle \alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{u}=\mathbf{0} \] che implica per una dimostrazione precedente che \(\displaystyle \alpha\mathbf{v}=-\beta\mathbf{u} \) ovvero \(\displaystyle -\frac{\alpha}{\beta}\mathbf{v}=\mathbf{u} \). Prendo \(\displaystyle c=-\frac{\alpha}{\beta} \): se questo numero esiste allora i vettori sono l.d. e quindi non formano una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \).
Per il secondo ho un dubbio: cosa si intende con $V$ e $U$ esattamente? Ad esempio $V$ sarebbe fatto dai vettori della forma \(\displaystyle \alpha\mathbf{v} \)? In tal caso è chiaro che \(\displaystyle \mathbb{R}^2=V+U=\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{u} \) e \(\displaystyle V\cap U=\mathbf{0} \) poiché per il primo punto deve essere \(\displaystyle \alpha\mathbf{v}\ne\beta\mathbf{u} \), altrimenti basterebbe scegliere \(\displaystyle c=\frac{\alpha}{\beta} \) affinché \(\displaystyle \mathcal{B} \) non sia una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \).
Questa dimostrazione è un filo più elaborata delle precedenti, la vostra opinione è davvero preziosa! Grazie in anticipo.
Risposte
Per me è tutto ok!
Per sottospazio generato da ${v}$ intende come hai detto $V={av|ainRR}$
Per il primo punto ti propongo quest'altra "dimostrazione".
Di una fissata base $B$ (che può benissimo essere la base canonica) di $RR^2$ considera $c_B(u)=(u_1,u_2)$ e $c_B(v)=(v_1,v_2)$ dove $c_B:RR^2->RR^2$ è l'isomorfismo coordinato di $RR^2$ rispetto il riferimento $B$.
$u$ e $v$ sono linearmente dipendenti sse $det((u_1,u_2),(v_1,v_2))=0$ cioè sse $u_1v_2=u_2v_1$ che equivale a dire che $u_1=cv_1$ e $u_2v_1=cv_1v_2 => u_2=cv_2$ con $c=\frac{u_2}{v_2}$. Infine $u=(u_1,u_2)=(cv_1,cv_2)=c(v_1,v_2)=cv$ (se avessi avuto $RR^3$ o superiori probabilmente conveniva operare così, in questo caso ovviamente hai risparmiato molto più tempo
)
Per sottospazio generato da ${v}$ intende come hai detto $V={av|ainRR}$
Per il primo punto ti propongo quest'altra "dimostrazione".
Di una fissata base $B$ (che può benissimo essere la base canonica) di $RR^2$ considera $c_B(u)=(u_1,u_2)$ e $c_B(v)=(v_1,v_2)$ dove $c_B:RR^2->RR^2$ è l'isomorfismo coordinato di $RR^2$ rispetto il riferimento $B$.
$u$ e $v$ sono linearmente dipendenti sse $det((u_1,u_2),(v_1,v_2))=0$ cioè sse $u_1v_2=u_2v_1$ che equivale a dire che $u_1=cv_1$ e $u_2v_1=cv_1v_2 => u_2=cv_2$ con $c=\frac{u_2}{v_2}$. Infine $u=(u_1,u_2)=(cv_1,cv_2)=c(v_1,v_2)=cv$ (se avessi avuto $RR^3$ o superiori probabilmente conveniva operare così, in questo caso ovviamente hai risparmiato molto più tempo
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Perfetto, ti ringrazio. Non sono ancora arrivato a guardarmi bene determinanti e isomorfismi, appena ci arrivo ridò un occhio alla tua dimostrazione!
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