$A^n=0 Rightarrow I-A$ invertibile

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28 feb 2018, 16:36

Ciao a tutti, devo mostrare che se $A$ è una matrice quadrata e $\displaystyle A^2=\mathbf{0} $, allora la matrice $\displaystyle \mathbb{I}-A $ è invertibile, prima di generalizzare il risultato al caso $\displaystyle A^n=\mathbf{0} $.

Lo scopo quindi è determinare se esista $C$ tale che $\displaystyle (\mathbb{I}-A)C=C(\mathbb{I}-A)=\mathbb{I} $.
Dal momento che $\displaystyle A^2=\mathbf{0} $ e $\displaystyle \mathbb{I}^2=\mathbb{I} $, si ha $\displaystyle (\mathbb{I}+A)(\mathbb{I}-A)C=(\mathbb{I}+A)=C $. (si fa analogamente per l'altra equazione).

Qui ho usato il fatto che $\displaystyle (A+B)(A-B)=(A+B)A-(A+B)B=A^2+BA-AB-B^2=A^2-B^2 $ se $AB=BA$, vero nel caso in questione.

Tuttavia non mi viene in mente come dimostrare che $\displaystyle \mathbb{I}-A $ è invertibile $\displaystyle \forall n\in\mathbb{N} $. Si fa per induzione, si usa il binomio di Newton? Temo di essermi perso in un bicchier d'acqua!

Risposte

dissonance

28 feb 2018, 15:45

Rigira la frittata così. Tu hai usato la formula
\[
I-A^2=(I-A)(I+A).\]
Adesso devi usare la formula
\[
I-A^n=(I-A)[\text{fill in the blank}].\]

Uomo Grasso

28 feb 2018, 16:29

Ciao dissonance! Effettivamente avevo pensato di usare una generalizzazione del prodotto notevole ma essendo un po' lento non sono arrivato subito al filling in the blank. Se non sbaglio vale, per $n$ dispari, la formula \[\displaystyle \mathbb{I}-A^n=(\mathbb{I}-A)(\mathbb{I}+A+A^2+...+A^{n-1})=\mathbb{I} \] e quindi basta prendere $\displaystyle C=(\mathbb{I}+A+A^2+...+A^{n-1}) $ Se invece $n$ è pari allora si può usare la formula di scomposizione di una differenza di quadrati ottenendo $\displaystyle \mathbb{I}-A^n=\mathbb{I}=(\mathbb{I}-A^{n/2})(\mathbb{I}+A^{n/2}) $. Iterando il procedimento $k$ volte fino ad avere $\displaystyle n/2^k $ dispari ci si dovrebbe poter ricondurre al caso precedente, considerando le altre formule di scomposizione nel caso di somma di potenze... però esce fuori una roba un po' complicata.

Che ne dici?